模板:模型论

Gsxab — Wed, 01 Apr 2026 09:37:24 GMT

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	\| [[初等子模型\|初等子模型（初等子结构）]]、初等扩张		\| [[初等子模型\|初等子模型（初等子结构）]] <math>\preceq</math> 、初等扩张 <math>\succeq</math>
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型（模型）

Gsxab — Wed, 01 Apr 2026 09:31:28 GMT

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	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的理论 <math>T</math> 和某个参数集 <math>A</math> ，将这个参数集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，若 <math>T \cup \Sigma</math> 在 <math>\mathcal{L}_A</math> 中一致（或者说有模型，存在某个 <math>\mathcal{L}_A</math>-模型及其上的赋值满足这一理论）,则称集合 <math>\Sigma</math> 是理论 <math>T</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>T</math> over <math>A</math>)。		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的理论 <math>T</math> 和某个参数集 <math>A</math> ，将这个参数集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，若 <math>T \cup \Sigma</math> 在 <math>\mathcal{L}_A</math> 中一致（或者说有模型，存在某个 <math>\mathcal{L}_A</math>-模型及其上的赋值满足这一理论）,则称集合 <math>\Sigma</math> 是理论 <math>T</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>T</math> over <math>A</math>)。

	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的模型 <math>\mathfrak{M}=(M,I)</math> ，以及其个体域的任意子集 <math>A\subseteq M</math> ，将这个子集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，则若存在一些元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> ，满足 <math>\mathfrak{M}\vDash \Sigma[b_1/x_1,\cdots,b_n/x_n]</math> ，则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 中由元组 <math>\bar{b}=(b_1,\cdots,b_n)</math> 在集合 <math>A</math> 上'''实现'''的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' '''~~realized~~''' by <math>\bar{b}</math> in <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)，记作 <math>\mathrm{tp}^\mathfrak{M} (\bar{b}/A)</math> 。若对任意有限子集 <math>\Pi\subseteq\Sigma</math> 都存在这样的元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> （或表达为“都被实现”，且不要求每个子集的元素对应相同），则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)。		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的模型 <math>\mathfrak{M}=(M,I)</math> ，以及其个体域的任意子集 <math>A\subseteq M</math> ，将这个子集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，则若存在一些元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> ，满足 <math>\mathfrak{M}\vDash \Sigma[b_1/x_1,\cdots,b_n/x_n]</math> ，则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 中由元组 <math>\bar{b}=(b_1,\cdots,b_n)</math> 在集合 <math>A</math> 上'''实现'''的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' '''realize'''d by <math>\bar{b}</math> in <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)，记作 <math>\mathrm{tp}^\mathfrak{M} (\bar{b}/A)</math> 。若对任意有限子集 <math>\Pi\subseteq\Sigma</math> 都存在这样的元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> （或表达为“都被实现”，且不要求每个子集的元素对应相同），则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)或模型 <math>\mathfrak{M}</math> '''实现'''集合 <math>\Sigma</math> (<math>\mathfrak{M}</math> '''realize'''s <math>\Sigma</math>)。

			== 性质 ==

			* 实现被某个特定的[[初等扩张]]保持。若 <math>X\subseteq A</math> ，且 <math>\mathfrak{A}_X</math> 实现了 <math>\Sigma</math> ，则存在 <math>\mathfrak{B}</math> 满足 <math>\mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B}</math> 且 <math>\mathfrak{B}_X</math> 也实现 <math>\Sigma</math> 。
			** 对模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，存在一个模型 <math>\mathfrak{B}</math> 使得 <math>\mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B}</math> 且 <math>\mathfrak{B}_A</math> 实现 <math>\mathfrak{A}_A</math> 所实现的每个模型。
			** 对任意有限模型和其上的型，总是能构造出一个以这个模型为起点的[[初等链（模型）\|初等链]]，使这个链中每个模型都实现这个型。


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