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模板:模型论

Gsxab — Wed, 01 Apr 2026 09:37:24 GMT

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	\| [[初等链（模型）\|初等链、初等链的极限]]		\| [[初等链（模型）\|初等链、初等链的极限]]
	\| [[初等嵌入]]		\| [[初等嵌入]]
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	! 分类		! 模型分类
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型（模型）

Gsxab — Wed, 01 Apr 2026 09:31:28 GMT

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	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的理论 <math>T</math> 和某个参数集 <math>A</math> ，将这个参数集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，若 <math>T \cup \Sigma</math> 在 <math>\mathcal{L}_A</math> 中一致（或者说有模型，存在某个 <math>\mathcal{L}_A</math>-模型及其上的赋值满足这一理论）,则称集合 <math>\Sigma</math> 是理论 <math>T</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>T</math> over <math>A</math>)。		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的理论 <math>T</math> 和某个参数集 <math>A</math> ，将这个参数集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，若 <math>T \cup \Sigma</math> 在 <math>\mathcal{L}_A</math> 中一致（或者说有模型，存在某个 <math>\mathcal{L}_A</math>-模型及其上的赋值满足这一理论）,则称集合 <math>\Sigma</math> 是理论 <math>T</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>T</math> over <math>A</math>)。

	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的模型 <math>\mathfrak{M}=(M,I)</math> ，以及其个体域的任意子集 <math>A\subseteq M</math> ，将这个子集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，则若存在一些元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> ，满足 <math>\mathfrak{M}\vDash \Sigma[b_1/x_1,\cdots,b_n/x_n]</math> ，则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 中由元组 <math>\bar{b}=(b_1,\cdots,b_n)</math> 在集合 <math>A</math> 上'''实现'''的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' '''~~realized~~''' by <math>\bar{b}</math> in <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)，记作 <math>\mathrm{tp}^\mathfrak{M} (\bar{b}/A)</math> ~~。若对任意子集~~ <math>\Pi\subseteq\Sigma</math> 都存在这样的元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> （或表达为“都被实现”，且不要求每个子集的元素对应相同），则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)。		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的模型 <math>\mathfrak{M}=(M,I)</math> ，以及其个体域的任意子集 <math>A\subseteq M</math> ，将这个子集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，则若存在一些元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> ，满足 <math>\mathfrak{M}\vDash \Sigma[b_1/x_1,\cdots,b_n/x_n]</math> ，则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 中由元组 <math>\bar{b}=(b_1,\cdots,b_n)</math> 在集合 <math>A</math> 上'''实现'''的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' '''realize'''d by <math>\bar{b}</math> in <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)，记作 <math>\mathrm{tp}^\mathfrak{M} (\bar{b}/A)</math> 。若对任意有限子集 <math>\Pi\subseteq\Sigma</math> 都存在这样的元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> （或表达为“都被实现”，且不要求每个子集的元素对应相同），则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)或模型 <math>\mathfrak{M}</math> '''实现'''集合 <math>\Sigma</math> (<math>\mathfrak{M}</math> '''realize'''s <math>\Sigma</math>)。

			== 性质 ==

			* 实现被某个特定的[[初等扩张]]保持。若 <math>X\subseteq A</math> ，且 <math>\mathfrak{A}_X</math> 实现了 <math>\Sigma</math> ，则存在 <math>\mathfrak{B}</math> 满足 <math>\mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B}</math> 且 <math>\mathfrak{B}_X</math> 也实现 <math>\Sigma</math> 。
			** 对模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，存在一个模型 <math>\mathfrak{B}</math> 使得 <math>\mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B}</math> 且 <math>\mathfrak{B}_A</math> 实现 <math>\mathfrak{A}_A</math> 所实现的每个模型。
			** 对任意有限模型和其上的型，总是能构造出一个以这个模型为起点的[[初等链（模型）\|初等链]]，使这个链中每个模型都实现这个型。


			{{模型论}}

型（模型）

Gsxab — Sat, 28 Mar 2026 16:02:32 GMT

创建页面，内容为“分类:模型论 {{InfoBox |name=型 |eng_name=type }} {{InfoBox |name=实现 |eng_name=realize }} '''型'''('''type''')是关于理论的数学对象，被模型中的元组'''实现'''('''realize''')。用于描述模型中某个或某些特殊个体对象视角的特征。具体地说，我们在固定观察论域中的某些个体对象与一个子集的关系时，通过全部能够这些对象和子集成立的公式集合来描述它们所符…”

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[[分类:模型论]]
{{InfoBox
|name=型
|eng_name=type
}}
{{InfoBox
|name=实现
|eng_name=realize
}}
'''型'''('''type''')是关于[[理论]]的数学对象，被[[模型]]中的元组'''实现'''('''realize''')。用于描述模型中某个或某些特殊个体对象视角的特征。具体地说，我们在固定观察论域中的某些个体对象与一个子集的关系时，通过全部能够这些对象和子集成立的公式集合来描述它们所符合的特征。

== 定义 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的理论 <math>T</math> 和某个参数集 <math>A</math> ，将这个参数集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，若 <math>T \cup \Sigma</math> 在 <math>\mathcal{L}_A</math> 中一致（或者说有模型，存在某个 <math>\mathcal{L}_A</math>-模型及其上的赋值满足这一理论）,则称集合 <math>\Sigma</math> 是理论 <math>T</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>T</math> over <math>A</math>)。

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的模型 <math>\mathfrak{M}=(M,I)</math> ，以及其个体域的任意子集 <math>A\subseteq M</math> ，将这个子集中的个体以个体常项的方式添加到语言中得到形式语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 。考虑 <math>\mathcal{L}_A</math> 中的公式集合 <math>\Sigma</math> ，其中的自由变元只有 <math>n</math> 个，记为 <math>x_1,\cdots,x_n</math> ，则若存在一些元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> ，满足 <math>\mathfrak{M}\vDash \Sigma[b_1/x_1,\cdots,b_n/x_n]</math> ，则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 中由元组 <math>\bar{b}=(b_1,\cdots,b_n)</math> 在集合 <math>A</math> 上'''实现'''的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' '''realized''' by <math>\bar{b}</math> in <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)，记作 <math>\mathrm{tp}^\mathfrak{M} (\bar{b}/A)</math> 。若对任意子集 <math>\Pi\subseteq\Sigma</math> 都存在这样的元素 <math>b_1,\cdots,b_n\in M</math> （或表达为“都被实现”，且不要求每个子集的元素对应相同），则称集合 <math>\Sigma</math> 是模型 <math>\mathfrak{M}</math> 在集合 <math>A</math> 上的 '''<math>n</math>-型'''( '''<math>n</math>-type''' of <math>\mathfrak{M}</math> over <math>A</math>)。

模板:模型论

Gsxab — Thu, 26 Mar 2026 14:12:14 GMT

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	{\| class='wikitable' style='text-align:center;margin:0 auto;border-width:2px' width='100%'		{\| class='wikitable' style='text-align:center;margin:0 auto;border-width:2px' width='100%'
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	! colspan=4 style='border-bottom-width:2px' \| [[:分类:模型论\|模型论]]		! colspan=5 style='border-bottom-width:2px' \| [[:分类:模型论\|模型论]]
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	! rowspan=3 \| 研究对象		! rowspan=3 \| 研究对象
	! 理论和模型		! 理论和模型
	\| 形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的[[理论]] <math>T</math>		\| colspan=2 \| 形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的[[理论]] <math>T</math>
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	! 刻画性质		! 刻画性质
	\| [[语法一致性（理论）\|语法一致性]]、[[可满足性（理论）\|可满足性/语义一致性]]、[[完备性（理论）\|完备性]]		\| colspan=2 \| [[语法一致性（理论）\|语法一致性]]、[[可满足性（理论）\|可满足性/语义一致性]]、[[完备性（理论）\|完备性]]
	\| [[签名（模型）\|签名、基数（有限、无穷）]]		\| [[签名（模型）\|签名、基数（有限、无穷）]]
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	! 相互关系		! 相互关系
	\| 模型 <math>\mathfrak{A}</math> ~~的理论（理论集~~ <math>\operatorname{Th}\mathfrak{A}</math> ）		\| colspan=2 \| 模型 <math>\mathfrak{A}</math> 的[[理论（模型）\|理论]]（理论集 <math>\operatorname{Th}\mathfrak{A}</math> ）
	\| 理论 <math>T</math> ~~的模型~~		\| 理论 <math>T</math> 的[[模型]]
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	! colspan=4 style="font-size:small" \| 模型间的关系		! colspan=5 style="font-size:small" \| 模型间的关系
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	! colspan=2 \| 同构		! colspan=2 \| 同构
	\| colspan=2 \| [[初等等价]]		\| colspan=3 \| [[初等等价]]
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	! colspan=2 \| 子模型相关		! colspan=2 \| 子模型相关
	\| [[子模型\|~~子模型、扩张~~]]、[[模型链]]		\| [[子模型\|子模型]]（[[子结构（逻辑）\|子结构]]）、扩张
			\| [[模型链]]
	\| [[同构嵌入（模型）\|同构嵌入]]		\| [[同构嵌入（模型）\|同构嵌入]]
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	! colspan=2 \| 初等子模型相关		! colspan=2 \| 初等子模型相关
	\| [[初等子模型\|~~初等子模型、初等扩张~~]]、[[初等链（模型）\|初等链、初等链的极限]]		\| [[初等子模型\|初等子模型（初等子结构）]]、初等扩张
			\| [[初等链（模型）\|初等链、初等链的极限]]
	\| [[初等嵌入]]		\| [[初等嵌入]]
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	! colspan=2 \| 初等等价		! colspan=2 \| 初等等价
	\| colspan=2 \| [[初等等价]]		\| colspan=3 \| [[初等等价]]
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	! colspan=2 \| ~~相关判定定理~~		! rowspan=2 colspan=2 \| 相关定理
	\| colspan=2 \| [[Tarski 初等链定理]]、 [[Tarski–Vaught 测试]]		\| colspan=3 \| [[Tarski 初等链定理]]、 [[Tarski–Vaught 测试]]
	\|-		\|-
	! colspan=4 style="font-size:small" \| ~~理论的不同模型数目问题~~		\| colspan=3 \| [[图引理（模型）\|图引理、初等图引理]]<br/>（[[图（模型）\|常量符号“加入”语言 <math>\mathcal{L}_A</math> /常量符号“加入”模型 <math>\mathfrak{M}_A</math> 、<br/>原子图 <math>D(\mathfrak{A})</math> 、初等图 <math>D_{el}(\mathfrak{A})</math>]]）
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			! colspan=5 style="font-size:small" \| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题
	\|-		\|-
	! colspan=2 \| 刻画		! colspan=2 \| 刻画
	\| colspan=2 \| [[Löwenheim–Skolem 定理]]、 [[范畴性（理论）\|<math>\kappa</math>-范畴性]]		\| colspan=3 \| [[Löwenheim–Skolem 定理]]、 [[范畴性（理论）\|<math>\kappa</math>-范畴性]]
	\|-		\|-
	! rowspan=2 \| 应用		! rowspan=2 \| 应用
	! 分类		! 分类
	\| colspan=2 \| 标准模型、非标准模型		\| colspan=3 \| 标准模型、非标准模型
	\|-		\|-
	! 定理		! 定理
	\| colspan=2 \| [[Gödel 不完备定理]]、 [[Łoś–Vaught 测试]]		\| colspan=3 \| （[[Gödel 不完备定理]]）、[[转换原理]]、 [[Łoś–Vaught 测试]]
	\|-		\|-
	! colspan=4 style="font-size:small" \| ~~理论的模型完备性理论~~		! colspan=5 style="font-size:small" \| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论
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	! colspan=2 \| 模型完备性		! colspan=2 \| 模型完备性
	\| [[模型完备性]]、[[子模型完备性]]		\| 理论的[[模型完备性]]
	\| [[模型完备化]]		\| 理论的[[子模型完备性]]
			\| 理论的[[模型完备化]]
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模板:模型论

Gsxab — Thu, 26 Mar 2026 08:51:48 GMT

创建页面，内容为“ {| class='wikitable' style='text-align:center;margin:0 auto;border-width:2px' width='100%' |- ! colspan=4 style='border-bottom-width:2px' | 模型论 |- ! rowspan=3 | 研究对象 ! 理论和模型 | 形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的理论 <math>T</math> | 形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的模型 <math>\mathfrak{A}</math> |- ! 刻画性质 | 语法一致性、可满足性（理论…”

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{| class='wikitable' style='text-align:center;margin:0 auto;border-width:2px' width='100%'
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! colspan=4 style='border-bottom-width:2px' | [[:分类:模型论|模型论]]
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! rowspan=3 | 研究对象
! 理论和模型
| 形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的[[理论]] <math>T</math>
| 形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 的[[模型]] <math>\mathfrak{A}</math>
|-
! 刻画性质
| [[语法一致性（理论）|语法一致性]]、[[可满足性（理论）|可满足性/语义一致性]]、[[完备性（理论）|完备性]]
| [[签名（模型）|签名、基数（有限、无穷）]]
|-
! 相互关系
| 模型 <math>\mathfrak{A}</math> 的理论（理论集 <math>\operatorname{Th}\mathfrak{A}</math> ）
| 理论 <math>T</math> 的模型
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! colspan=4 style="font-size:small" | 模型间的关系
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! colspan=2 | 同构
| colspan=2 | [[初等等价]]
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! colspan=2 | 子模型相关
| [[子模型|子模型、扩张]]、[[模型链]]
| [[同构嵌入（模型）|同构嵌入]]
|-
! colspan=2 | 初等子模型相关
| [[初等子模型|初等子模型、初等扩张]]、[[初等链（模型）|初等链、初等链的极限]]
| [[初等嵌入]]
|-
! colspan=2 | 初等等价
| colspan=2 | [[初等等价]]
|-
! colspan=2 | 相关判定定理
| colspan=2 | [[Tarski 初等链定理]]、 [[Tarski–Vaught 测试]]
|-
! colspan=4 style="font-size:small" | 理论的不同模型数目问题
|-
! colspan=2 | 刻画
| colspan=2 | [[Löwenheim–Skolem 定理]]、 [[范畴性（理论）|<math>\kappa</math>-范畴性]]
|-
! rowspan=2 | 应用
! 分类
| colspan=2 | 标准模型、非标准模型
|-
! 定理
| colspan=2 | [[Gödel 不完备定理]]、 [[Łoś–Vaught 测试]]
|-
! colspan=4 style="font-size:small" | 理论的模型完备性理论
|-
! colspan=2 | 模型完备性
| [[模型完备性]]、[[子模型完备性]]
| [[模型完备化]]
|}

模型完备化

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 16:17:56 GMT

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	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> 及 <math>T^\supseteq T</math> ，若对 <math>T</math> 的每个模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T^\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T^*</math> 是理论 <math>T</math> 的'''模型完备化'''('''model completion''')。		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> 及 <math>T^\supseteq T</math> ，若对 <math>T</math> 的每个模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T^\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T^*</math> 是理论 <math>T</math> 的'''模型完备化'''('''model completion''')。

	每个理论的不同模型完备化总是[[逻辑等值]]~~的，可以任务其在逻辑等值关系下唯一。~~		每个理论的不同模型完备化总是[[逻辑等值]]的，可以任务其在逻辑等值关系下唯一，因此研究模型完备问题时，往往可以用演绎理论，即逻辑蕴涵关系下的闭包代替具体理论，也不需要区分闭包相同的具体理论。

	== 性质 ==		== 性质 ==

等值（逻辑）

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 15:55:55 GMT

常见等值律

←上一版本		2026年3月25日 (三) 15:55的版本
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第14行：		第14行：
	换句话说，两个命题公式等值当且仅当它们具有相同[[真值表]]。		换句话说，两个命题公式等值当且仅当它们具有相同[[真值表]]。

	~~重言等价是~~[[~~逻辑等价~~]]在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑等价。		重言等值是[[逻辑等值]]在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑等价。

	~~形式语言层级上，重言等价涉及对命题真假的判断，是元语言中的谓词，连接两个对象命题公式；与属于对象语言的~~[[等价（逻辑）\|等价]]逻辑联结词不同。		形式语言层级上，重言等值涉及对命题真假的判断，是元语言中的谓词，连接两个对象命题公式；与属于对象语言的[[等价（逻辑）\|等价]]逻辑联结词不同。

	== 定义 ==		== 定义 ==
第43行：		第43行：

	== 常见等值律 ==		== 常见等值律 ==
	单独分类：[[:分类:~~命题逻辑常见结论~~]]		单独分类：[[:分类:命题逻辑定理]]

	其中， <math>P,Q,R</math> 为命题变元， <math>\mathrm{T},\mathrm{F}</math> 为真值常量[[真]]和[[假]]。		其中， <math>P,Q,R</math> 为命题变元， <math>\mathrm{T},\mathrm{F}</math> 为真值常量[[真]]和[[假]]。
第54行：		第54行：
	* [[结合律]] <math>(P\land Q)\land R=P\land(Q\land R),(P\lor Q)\lor R=P\lor(Q\lor R)</math> ；		* [[结合律]] <math>(P\land Q)\land R=P\land(Q\land R),(P\lor Q)\lor R=P\lor(Q\lor R)</math> ；
	* [[分配律]] <math>P\land(Q\lor R)=(P\land Q)\lor(P\land R),P\lor(Q\land R)=(P\lor Q)\land(P\lor R)</math> ，由交换律对另一侧也成立；		* [[分配律]] <math>P\land(Q\lor R)=(P\land Q)\lor(P\land R),P\lor(Q\land R)=(P\lor Q)\land(P\lor R)</math> ，由交换律对另一侧也成立；
	* [[德·摩根律]] <math>\lnot(P\land Q) = \lnot P \lor \lnot Q, \lnot(P\lor Q) = \lnot P \land \lnot Q</math> ；		* [[De Morgan 律（逻辑）\|德·摩根律]] <math>\lnot(P\land Q) = \lnot P \lor \lnot Q, \lnot(P\lor Q) = \lnot P \land \lnot Q</math> ；
	* [[吸收律]] <math>P\land(P\lor Q)=P,P\lor(P\land Q)=P</math> ，由交换律对另一侧也成立；		* [[吸收律]] <math>P\land(P\lor Q)=P,P\lor(P\land Q)=P</math> ，由交换律对另一侧也成立；
	* 否定律 <math>P\lor\lnot P=\mathrm{T}</math> （[[排中律]]）、 <math>P\land\lnot P=\mathrm{F}</math> （[[矛盾律]]）。		* 否定律 <math>P\lor\lnot P=\mathrm{T}</math> （[[排中律]]）、 <math>P\land\lnot P=\mathrm{F}</math> （[[矛盾律]]）。

模型完备化

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 15:35:55 GMT

←上一版本		2026年3月25日 (三) 15:35的版本
第8行：		第8行：
	== 定义 ==		== 定义 ==

	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> 及 <math>T^\~~supset~~ T</math> ，若对 <math>T</math> 的每个模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T^\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T^*</math> 是理论 <math>T</math> 的'''模型完备化'''('''model completion''')。		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> 及 <math>T^\supseteq T</math> ，若对 <math>T</math> 的每个模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T^\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T^*</math> 是理论 <math>T</math> 的'''模型完备化'''('''model completion''')。

	每个理论的不同模型完备化总是[[逻辑等值]]的，可以任务其在逻辑等值关系下唯一。		每个理论的不同模型完备化总是[[逻辑等值]]的，可以任务其在逻辑等值关系下唯一。

模型完备化

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 15:35:41 GMT

创建页面，内容为“分类:模型论 {{InfoBox |name=模型完备化 |eng_name=model completion }} '''模型完备化'''('''model completion''')指对一个一阶理论，向其中加入新的公式，以使得这个新理论具有模型完备性。根据图引理，这也等价于其每个模型都使得模型中的原子图加入后的理论是可满足且完备的。 == 定义 == 对形式…”

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[[分类:模型论]]
{{InfoBox
|name=模型完备化
|eng_name=model completion
}}
'''模型完备化'''('''model completion''')指对一个一阶[[理论]]，向其中加入新的公式，以使得这个新理论具有[[模型完备性]]。根据[[图引理（模型）|图引理]]，这也等价于其每个[[模型]]都使得模型中的[[图（模型）|原子图]]加入后的理论是可满足且[[完备性（理论）|完备]]的。

== 定义 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> 及 <math>T^*\supset T</math> ，若对 <math>T</math> 的每个模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T^*\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T^*</math> 是理论 <math>T</math> 的'''模型完备化'''('''model completion''')。

每个理论的不同模型完备化总是[[逻辑等值]]的，可以任务其在逻辑等值关系下唯一。

== 性质 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ：
* 若 <math>T</math> 本身是模型完备的，则 <math>T</math> 是其本身的一个模型完备化。
* 对 <math>T</math> 的一个模型完备化 <math>T^*</math> ：
** <math>T^*</math> 是模型完备的。
** <math>T</math> 的任意模型都是 <math>T^*</math> 的某个模型的子模型。

{{模型论}}

子模型完备性

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 10:51:55 GMT

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	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：
	* <math>T</math> 是子模型完备的。		* <math>T</math> 是子模型完备的。
	* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 同时是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的子模型，则考虑语言 <math>\mathcal{L}_A</math> ~~上的模型和公式，任意的仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式）~~ <math>\phi</math> ，若满足 <math>\mathfrak{B}_A\vDash\phi</math> 则有 <math>\mathfrak{C}_A\vDash\phi</math> 。		* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 同时是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的子模型，则考虑语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 上的模型和公式，对任意的仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式） <math>\phi</math> ，若满足 <math>\mathfrak{B}_A\vDash\phi</math> 则有 <math>\mathfrak{C}_A\vDash\phi</math> 。
	* <math>T</math> 消除量词(eliminate quantifiers)：对任意公式 <math>\phi</math> 都存在不含量词的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。		* <math>T</math> 消除量词(eliminate quantifiers)：对任意公式 <math>\phi</math> 都存在不含量词的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
	* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的子模型，则存在 <math>T</math> 的模型 <math>\mathfrak{D}</math> 使得 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{D}</math> 的子模型，且语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 上的模型满足 <math>\mathfrak{B}_A\preceq\mathfrak{D}_A,\mathfrak{C}_A\preceq\mathfrak{D}_A</math> 。		* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的子模型，则存在 <math>T</math> 的模型 <math>\mathfrak{D}</math> 使得 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{D}</math> 的子模型，且语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 上的模型满足 <math>\mathfrak{B}_A\preceq\mathfrak{D}_A,\mathfrak{C}_A\preceq\mathfrak{D}_A</math> 。

模型完备性

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 10:51:42 GMT

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第20行：		第20行：
	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：
	* <math>T</math> 是模型完备的。		* <math>T</math> 是模型完备的。
	* <math>T</math> 的每个模型都对存在量词封闭(existentially closed)：即对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，则考虑语言 <math>\mathcal{L}_A</math> ~~上的模型和公式，任意的仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式）~~ <math>\phi</math> ~~若满足~~ <math>\mathfrak{B}_A\vDash\phi</math> 则满足 <math>\mathfrak{A}_A\vDash\phi</math> 。		* <math>T</math> 的每个模型都对存在量词封闭(existentially closed)：即对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，则考虑语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 上的模型和公式，对任意的仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式） <math>\phi</math> ，若满足 <math>\mathfrak{B}_A\vDash\phi</math> 则满足 <math>\mathfrak{A}_A\vDash\phi</math> 。
	* 每个仅存在量化公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。		* 每个仅存在量化公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
	* 每个公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。		* 每个公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。

子模型完备性

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 10:50:59 GMT

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	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：
	* <math>T</math> 是子模型完备的。		* <math>T</math> 是子模型完备的。
	* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 同时是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ~~的[[子模型]]，对满足~~ <math>\~~mathfrak~~{B}_A~~\vDash~~\phi</math> ~~的任意仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式）~~ <math>\phi</math> 有 <math>\mathfrak{C}_A\vDash\phi</math> 。		* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 同时是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的子模型，则考虑语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 上的模型和公式，任意的仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式） <math>\phi</math> ，若满足 <math>\mathfrak{B}_A\vDash\phi</math> 则有 <math>\mathfrak{C}_A\vDash\phi</math> 。
	* <math>T</math> 消除量词(eliminate quantifiers)：对任意公式 <math>\phi</math> 都存在不含量词的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。		* <math>T</math> 消除量词(eliminate quantifiers)：对任意公式 <math>\phi</math> 都存在不含量词的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
	* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ~~的[[子模型]]，则存在~~ <math>T</math> 的模型 <math>\mathfrak{D}</math> 使得 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{D}</math> ~~的子模型且~~ <math>\mathfrak{B}_A\preceq\mathfrak{D}_A,\mathfrak{C}_A\preceq\mathfrak{D}_A</math> 。		* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的子模型，则存在 <math>T</math> 的模型 <math>\mathfrak{D}</math> 使得 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{D}</math> 的子模型，且语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 上的模型满足 <math>\mathfrak{B}_A\preceq\mathfrak{D}_A,\mathfrak{C}_A\preceq\mathfrak{D}_A</math> 。


	{{模型论}}		{{模型论}}

模型完备性

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 10:46:59 GMT

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第20行：		第20行：
	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：
	* <math>T</math> 是模型完备的。		* <math>T</math> 是模型完备的。
	* <math>T</math> 的每个模型都对存在量词封闭(existentially closed)：即对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]~~，对满足~~ <math>\~~mathfrak~~{B}~~\vDash~~\phi</math> ~~的任意仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式）~~ <math>\phi</math> 有 <math>\mathfrak{A}_A\vDash\phi</math> 。		* <math>T</math> 的每个模型都对存在量词封闭(existentially closed)：即对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，则考虑语言 <math>\mathcal{L}_A</math> 上的模型和公式，任意的仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式） <math>\phi</math> 若满足 <math>\mathfrak{B}_A\vDash\phi</math> 则满足 <math>\mathfrak{A}_A\vDash\phi</math> 。
	* 每个仅存在量化公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。		* 每个仅存在量化公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
	* 每个公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。		* 每个公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。

子模型完备性

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 08:59:56 GMT

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[[分类:模型论]]
{{InfoBox
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{{InfoBox
|name=子模型完备的
|eng_name=submodel complete
}}
'''子模型完备性'''('''submodel completeness''')指对一个一阶[[理论]]，这个理论的任意两[[模型]]若有同一[[子模型]]可以[[同构嵌入（模型）|同构嵌入]]则其扩张对应可以[[初等嵌入|初等嵌入]]同一模型。根据[[图引理（模型）|图引理]]，这也等价于其每个子模型都使得模型中的[[图（模型）|原子图]]加入后的理论是[[完备性（理论）|完备]]的。

== 定义 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，若对 <math>T</math> 的任意模型 <math>\mathfrak{M}</math> 的任意子模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T</math> 是'''子模型完备的'''('''submodel complete''')。

== 性质 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：
* <math>T</math> 是子模型完备的。
* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 同时是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的[[子模型]]，对满足 <math>\mathfrak{B}_A\vDash\phi</math> 的任意仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式） <math>\phi</math> 有 <math>\mathfrak{C}_A\vDash\phi</math> 。
* <math>T</math> 消除量词(eliminate quantifiers)：对任意公式 <math>\phi</math> 都存在不含量词的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B},\mathfrak{C}</math> 的[[子模型]]，则存在 <math>T</math> 的模型 <math>\mathfrak{D}</math> 使得 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{D}</math> 的子模型且 <math>\mathfrak{B}_A\preceq\mathfrak{D}_A,\mathfrak{C}_A\preceq\mathfrak{D}_A</math> 。

{{模型论}}

模型完备性

Gsxab — Wed, 25 Mar 2026 08:50:45 GMT

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	\|eng_name=model complete		\|eng_name=model complete
	}}		}}
	'''模型完备性'''('''model completeness''')指对一个一阶[[理论]]~~，其每个~~[[模型]]都使得模型中的[[图（模型）\|原子图]]加入后的理论是[[完备性（理论）\|完备]]的。		'''模型完备性'''('''model completeness''')指对一个一阶[[理论]]，这个理论的任意两[[模型]]间的[[同构嵌入（模型）\|同构嵌入]]都是[[初等嵌入\|初等嵌入]]。根据[[图引理（模型）\|图引理]]，这也等价于其每个[[模型]]都使得模型中的[[图（模型）\|原子图]]加入后的理论是[[完备性（理论）\|完备]]的。

			模型完备性是关于一个理论中，子模型是不是总是初等子模型的理论。研究动机是为了推广代数闭域理论。

	== 定义 ==		== 定义 ==

	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ~~，若对每个~~ <math>T</math> ~~的模型~~ <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T</math> 是'''模型完备的'''('''model complete''')。		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，若对 <math>T</math> 的每个模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T</math> 是'''模型完备的'''('''model complete''')。

	== 性质 ==		== 性质 ==
第18行：		第20行：
	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：		对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：
	* <math>T</math> 是模型完备的。		* <math>T</math> 是模型完备的。
	* <math>T</math> ~~的每个模型都对存在量词封闭：即对~~ <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，对满足 <math>\mathfrak{B}\vDash\phi</math> ~~的任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式~~ <math>\phi</math> 有 <math>\mathfrak{A}_A\vDash\phi</math> 。		* <math>T</math> 的每个模型都对存在量词封闭(existentially closed)：即对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，对满足 <math>\mathfrak{B}\vDash\phi</math> 的任意仅存在量化公式（仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式） <math>\phi</math> 有 <math>\mathfrak{A}_A\vDash\phi</math> 。
	* ~~对任意公式~~ <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。		* 每个仅存在量化公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
			* 每个公式都有一个关于模型 <math>T</math> 等价的仅全称量化公式：即对任意公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
	* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，则 <math>\mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B}</math> 。		* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，则 <math>\mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B}</math> 。

			一个一阶可数语言上的理论 <math>T</math> ，若同时满足：
			* <math>T</math> 只有无穷模型；
			* <math>T</math> 的任意模型[[模型链\|链的极限]]也是 <math>T</math> 的模型；
			* 对某个无穷基数 <math>\kappa</math> 是 <math>\kappa</math>-[[范畴性（理论）\|范畴]]的。
			则 <math>T</math> 是模型完备的。


	{{模型论}}		{{模型论}}

模型完备性

Gsxab — Sat, 14 Mar 2026 09:04:22 GMT

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[[分类:模型论]]
{{InfoBox
|name=模型完备性
|eng_name=model completeness
}}
{{InfoBox
|name=模型完备的
|eng_name=model complete
}}
'''模型完备性'''('''model completeness''')指对一个一阶[[理论]]，其每个[[模型]]都使得模型中的[[图（模型）|原子图]]加入后的理论是[[完备性（理论）|完备]]的。

== 定义 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，若对每个 <math>T</math> 的模型 <math>\mathfrak{A}</math> ，理论 <math>T\cup D(\mathfrak{A})</math> 完备，则称理论 <math>T</math> 是'''模型完备的'''('''model complete''')。

== 性质 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的一阶理论 <math>T</math> ，以下命题等价：
* <math>T</math> 是模型完备的。
* <math>T</math> 的每个模型都对存在量词封闭：即对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，对满足 <math>\mathfrak{B}\vDash\phi</math> 的任意仅含存在量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\phi</math> 有 <math>\mathfrak{A}_A\vDash\phi</math> 。
* 对任意公式 <math>\phi</math> 都存在仅含全称量词且所有量化表达式都在公式头部的公式 <math>\psi</math> ，满足 <math>T\vDash (\forall v_0\cdots\forall v_n)(\phi\leftrightarrow\psi)</math> ，其中 <math>v_0\cdots v_n</math> 是其中的自由变元。
* 对 <math>T</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> ，其中 <math>\mathfrak{A}</math> 是 <math>\mathfrak{B}</math> 的[[子模型]]，则 <math>\mathfrak{A}\preceq\mathfrak{B}</math> 。

{{模型论}}

向下 Löwenheim–Skolem 定理

Gsxab — Wed, 11 Mar 2026 12:42:55 GMT

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[[分类:模型论]]{{DEFAULTSORT:xiang4xia4lowenheim skolem ding4li3}}

向上 Löwenheim–Skolem 定理

Gsxab — Wed, 11 Mar 2026 12:42:35 GMT

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[[分类:模型论]]{{DEFAULTSORT:xiang4shang4lowenheim skolem ding4li3}}

范畴性（理论）

Gsxab — Wed, 11 Mar 2026 12:41:53 GMT

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	\|description=本文介绍了模型论中关于理论是否范畴的定义，这一性质刻画一个理论是否只具有一种结构的模型。		\|description=本文介绍了模型论中关于理论是否范畴的定义，这一性质刻画一个理论是否只具有一种结构的模型。
	\|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}		\|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
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	}}		}}
	{{InfoBox		{{InfoBox

范畴性（理论）

Gsxab — Wed, 11 Mar 2026 12:41:31 GMT

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[[分类:模型论]]{{DEFAULTSORT:fan4chou2xing4}}
{{#seo:
|keywords=理论的范畴性, 理论是范畴的
|description=本文介绍了模型论中关于理论是否范畴的定义，这一性质刻画一个理论是否只具有一种结构的模型。
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{{InfoBox
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|eng_name=κ-categorical
}}
'''范畴性'''('''categoricity''')是描述[[理论]]在[[同构（模型）|模型同构]]意义上是否只有唯一[[模型]]的性质，换句话说，是描述理论是否有唯一一种模型结构的性质。

这一名词本身为了研究仅存在一种模型的理论诞生。但由于[[向上 Löwenheim–Skolem 定理]]成立，对于存在无穷模型的理论，任意给出一个模型后，只要给出更大的基数，理论就存在新的模型，不可能全部唯一。因此范畴性更多地研究在指定基数下，模型是否在同构意义下唯一。

== 定义 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 中的理论 <math>T</math> ，对给定基数 <math>\kappa</math> ，若 <math>T</math> 有且仅有一个[[基数（模型）|基数]]为 <math>\kappa</math> 的模型，则称理论 <math>T</math> 是 '''<math>\kappa</math>-范畴的'''( '''<math>\kappa</math>-categorical''' 或 '''categorical in <math>\kappa</math>''' )。

{{模型论}}

转换原理

Gsxab — Wed, 11 Mar 2026 12:26:54 GMT

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	\|published_time=2026-03-07		\|published_time=2026-03-07
	}}		}}
	'''转换原理'''('''transfer''')指形式语言中在某个结构下为真的全部公式在另一结构下一定全部为真。这一原理的核心表明形式语言中的断言在标准模型和非标准模型中真值相同，联系起了不同的模型。		'''转换原理'''('''transfer principle''')指形式语言中在某个结构下为真的全部公式在另一结构下一定全部为真。这一原理的核心表明形式语言中的断言在标准模型和非标准模型中真值相同，联系起了不同的模型。

	== 定理 ==		== 定理 ==

图引理（模型）

Gsxab — Sat, 07 Mar 2026 07:34:58 GMT

定理

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	== 定理 ==		== 定理 ==

	对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\~~mathfra~~</math> 以下两个命题等价：		'''图引理'''('''diagram lemma''')：
			对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> 以下两个命题等价：
	* 模型 <math>\mathfrak{A}</math> 可被[[同构嵌入（模型）\|同构嵌入]]模型 <math>\mathfrak{B}</math> ；		* 模型 <math>\mathfrak{A}</math> 可被[[同构嵌入（模型）\|同构嵌入]]模型 <math>\mathfrak{B}</math> ；
	* 模型 <math>\mathfrak{B}</math> 可被扩张成 <math>D(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，或者说，存在模型 <math>\mathfrak{B}'</math> 是 <math>D(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，且 <math>\mathfrak{B}</math> 是 <math>\mathfrak{B}'</math> 从[[签名（模型）\|签名]]中去除常量符号后的模型。		* 模型 <math>\mathfrak{B}</math> 可被扩张成 <math>D(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，或者说，存在模型 <math>\mathfrak{B}'</math> 是 <math>D(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，且 <math>\mathfrak{B}</math> 是 <math>\mathfrak{B}'</math> 从[[签名（模型）\|签名]]中去除常量符号后的模型。

			=== 初等图引理 ===

			'''初等图引理'''('''elementary diagram lemma''')：
			对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> 以下两个命题等价：
			* 模型 <math>\mathfrak{A}</math> 可被[[初等嵌入]]模型 <math>\mathfrak{B}</math> ；
			* 模型 <math>\mathfrak{B}</math> 可被扩张成 <math>D_{el}(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，或者说，存在模型 <math>\mathfrak{B}'</math> 是 <math>D_{el}(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，且 <math>\mathfrak{B}</math> 是 <math>\mathfrak{B}'</math> 从签名中去除常量符号后的模型。


	{{模型论}}		{{模型论}}

图引理（模型）

Gsxab — Sat, 07 Mar 2026 07:14:52 GMT

创建页面，内容为“分类:模型论{{DEFAULTSORT:tu2yin3li3}} {{#seo: |keywords=图引理,初等图引理 |description=本文描述了模型论中称为图引理的重要定理，这一定理描述了一阶语言中嵌入和扩张之间的联系。 |modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}} |published_time=2026-03-07 }} {{InfoBox |name=图引理 |eng_name=diagram lemma }} {{InfoBox |name=初等图引理 |end_name=elementary diagram lemma }} '''图引…”

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[[分类:模型论]]{{DEFAULTSORT:tu2yin3li3}}
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'''图引理'''('''diagram lemma''')是一个联系了[[模型]]之间嵌入和扩张的定理。经常用于证明初等合并定理。

== 定理 ==

对形式语言 <math>\mathcal{L}</math> 上的模型 <math>\mathfrak{A},\mathfra</math> 以下两个命题等价：
* 模型 <math>\mathfrak{A}</math> 可被[[同构嵌入（模型）|同构嵌入]]模型 <math>\mathfrak{B}</math> ；
* 模型 <math>\mathfrak{B}</math> 可被扩张成 <math>D(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，或者说，存在模型 <math>\mathfrak{B}'</math> 是 <math>D(\mathfrak{A})</math> 的一个模型，且 <math>\mathfrak{B}</math> 是 <math>\mathfrak{B}'</math> 从[[签名（模型）|签名]]中去除常量符号后的模型。

{{模型论}}

转换原理

Gsxab — Sat, 07 Mar 2026 05:49:10 GMT

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	\|keywords=转换原理, 莱布尼茨原理		\|keywords=转换原理, 莱布尼茨原理
	\|description=本文描述了统称为转换原理的几个定理，说明了转换原理如何在不同模型间成立，及其在不同领域内的对应。		\|description=本文描述了统称为转换原理的几个定理，说明了转换原理如何在不同模型间成立，及其在不同领域内的对应。
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	'''转换原理'''('''transfer''')指形式语言中在某个结构下为真的全部公式在另一结构下一定全部为真。这一原理的核心表明形式语言中的断言在标准模型和非标准模型中真值相同，联系起了不同的模型。		'''转换原理'''('''transfer''')指形式语言中在某个结构下为真的全部公式在另一结构下一定全部为真。这一原理的核心表明形式语言中的断言在标准模型和非标准模型中真值相同，联系起了不同的模型。

转换原理

Gsxab — Sat, 07 Mar 2026 05:05:02 GMT

创建页面，内容为“分类:模型论{{DEFAULTSORT:zhuan3huan4yuan2li3}} {{#seo: |keywords=转换原理, 莱布尼茨原理 |description=本文描述了统称为转换原理的几个定理，说明了转换原理如何在不同模型间成立，及其在不同领域内的对应。 }} '''转换原理'''('''transfer''')指形式语言中在某个结构下为真的全部公式在另一结构下一定全部为真。这一原理的核心表明形式语言中的断言在标准模型…”

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[[分类:模型论]]{{DEFAULTSORT:zhuan3huan4yuan2li3}}
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|keywords=转换原理, 莱布尼茨原理
|description=本文描述了统称为转换原理的几个定理，说明了转换原理如何在不同模型间成立，及其在不同领域内的对应。
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'''转换原理'''('''transfer''')指形式语言中在某个结构下为真的全部公式在另一结构下一定全部为真。这一原理的核心表明形式语言中的断言在标准模型和非标准模型中真值相同，联系起了不同的模型。

== 定理 ==

=== Leibniz 原理 ===

对实数 <math>\mathbb{R}</math> ，存在一个有序域 <math>^*\mathbb{R}</math>，包含 <math>\mathbb{R}</math> 中全部实数以及一个比任意实数大的数，且所有在 <math>\mathbb{R}</math> 中成立的命题在 <math>^*\mathbb{R}</math> 中也成立。这样的 <math>^*\mathbb{R}</math> 是实数的非标准模型，称为[[超实数]]。

=== Lefschetz 原理 ===

在[[域]]使用的一阶语言中，在复数域中成立的命题在特征为 0 的代数闭域中也成立。

初等子模型

Gsxab — Sat, 07 Mar 2026 03:29:07 GMT

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	一个[[结构（逻辑）\|结构]]的'''初等子结构'''('''elementary substructure''')，指一个论域是这个结构论域子集的结构，且两结构对这个语言中的任意表达式，两个结构在这个子集上的对应[[赋值（谓词逻辑）\|赋值]]上的情况均相同。相反称为'''初等扩张'''('''elementary extension''')讨论[[模型]]时，称为'''初等子模型'''('''elementary submodel''')。		一个[[结构（逻辑）\|结构]]的'''初等子结构'''('''elementary substructure''')，指一个论域是这个结构论域子集的结构，且两结构对这个语言中的任意表达式，两个结构在这个子集上的对应[[赋值（谓词逻辑）\|赋值]]上的情况均相同。相反称为'''初等扩张'''('''elementary extension''')。讨论语言或理论的[[模型]]时，称为'''初等子模型'''('''elementary submodel''')。

	== 定义 ==		== 定义 ==