查看“︁Tarski 真理定义”︁的源代码

[[分类:命题逻辑]]
[[分类:谓词逻辑]]
[[分类:以 Tarski 命名]]
{{InfoBox
|name=真理定义
|eng_name=definition of truth
|aliases=真定义
}}
{{InfoBox
|name=基本语义定义
|eng_name=basic semantic definition
|aliases=真定义
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真理定义指<ins>塔斯基</ins>对“真”本身的递归定义。

在[[:分类:命题逻辑|命题逻辑]]及[[:分类:谓词逻辑|谓词逻辑]]中，为避免自我指涉（即命题直接或间接地涉及自身的真假），以及解决真假无法对应客观对象的问题，
认为真假不是对象语言中的对象，即不能在被研究的[[命题公式]]或[[谓词公式]]本身中获得有效定义，它们仅能在[[元语言]]中定义。
<ins>塔斯基</ins>提出：
* “真”应在元语言中定义为谓词（“元谓词”），与对象命题或其他涉及元语言的成分共同构成“元命题”；
* 这一谓词可通过真理指派和递归的方式进行定义。

一个常见的自我指涉与否定共同构成自我否定的句子是说谎者悖论，即“这句话是'''假'''的”。

== 真理定义（命题逻辑） ==

也称为'''真理定义'''。

对 [[命题语言|<math>L_0</math>]]-公式，递归地定义其真值 <math>\phi^\sigma</math> 如下：
* 对命题变元 <math>p</math> ，指派的定义已给定其值 <math>p^\sigma</math> ；
* <math>(\lnot\phi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为假；
* <math>(\phi\land\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为真且 <math>\psi^\sigma</math> 为真；
* <math>(\phi\lor\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为真或 <math>\psi^\sigma</math> 为真；
* <math>(\phi\rightarrow\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为假或 <math>\psi^\sigma</math> 为真；
* <math>(\phi\leftrightarrow\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma = \psi^\sigma</math> 。
相反的情况定义为“假”。

== 真理定义（谓词逻辑） ==

也称为'''基本语义定义'''（'''basic semantic definition'''，缩写为'''BSD'''）。

对[[模型]] <math>\mathfrak{A}</math> 上的[[赋值（谓词逻辑）|赋值]] <math>\sigma</math> ，定义：

对 [[谓词语言|<math>L_1</math>]]-项 <math>t</math> ，递归地定义其在 <math>\sigma</math> 下的值如下：
* 对个体常项 <math>c</math> ，模型与赋值的定义已给定其值 <math>c^\sigma=c^\mathfrak{A}</math> ；
* 对个体变项 <math>x</math> ，赋值的定义已给定其值 <math>x^\sigma</math> ；
* 对包含函项的形式 <math>f(t_1, \dots, t_n)</math> ，定义其值 <math>(f(t_1, \dots, t_n))^\sigma = f^\sigma (t_1^\sigma \dots t_n^\sigma)</math> 。

对 <math>L_1</math>-公式 <math>\phi</math> ，递归地定义其真值 <math>\phi^\sigma</math> 如下：
* <math>(s = t)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>s^\sigma = t^\sigma</math> ；
* <math>(P(t_1, \dots, t_n))^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>(t_1\sigma, \dots, t_n\sigma) \in P^\sigma</math> ；
* <math>(\lnot\phi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为假；
* <math>(\phi\land\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为真且 <math>\psi^\sigma</math> 为真；
* <math>(\phi\lor\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为真或 <math>\psi^\sigma</math> 为真；
* <math>(\phi\rightarrow\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma</math> 为假或 <math>\psi^\sigma</math> 为真；
* <math>(\phi\leftrightarrow\psi)^\sigma</math> 为真，当且仅当 <math>\phi^\sigma = \psi^\sigma</math> ；
* <math>(\forall x \phi)^\sigma</math> 为真，当且仅当对每一个 <math>a \in A</math> ， <math>\phi^{\sigma(x/a)}</math> 均为真；
* <math>(\exists x \phi)^\sigma</math> 为真，当且仅当对某个 <math>a \in A</math> ， <math>\phi^{\sigma(x/a)}</math> 为真。
相反的情况定义为“假”。


== 参考资料 ==

[https://www.zhihu.com/question/59584093/answer/172295742 如何理解Tarski的真理论？ - LLLBK的回答 - 知乎]