查看“︁半格”︁的源代码

[[分类:序理论]]
[[分类:格论]]
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'''交半格'''('''join-semilattice''')指一个[[偏序集]]的有限子集总有[[上确界、下确界|下确界]]。
其对偶称为'''并半格'''('''meet-semilattice''')，指一个偏序集的有限子集总有上确界。
也指其由抽象出的，满足[[结合律]]、[[交换律]]、[[幂等律（二元运算）|幂等律]]的代数系统。

满足这一条件的偏序满足这样的运算规则，满足这一规则的代数结构本身也定义了一个偏序，可认为是等价地描述了同一个结构。

== 定义 ==

以下两个定义的结构等价。

=== 序理论定义 ===

对偏序集 <math>(P, \preceq)</math>  ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其下确界，则此时，称 <math>P</math> 是一个'''交半格'''('''join-semilattice''')，其中由 <math>x,y</math> （可以相同）构成的集合的下确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''交'''('''join''')，记作 <math>x \wedge y</math> 。

对偏序集 <math>(P, \preceq)</math>  ，若对任意子集 <math>\{x,y\} \subseteq P</math> 都存在其上确界，则此时，称 <math>P</math> 是一个'''并半格'''('''meet-semilattice''')，其中由 <math>x,y</math> （可以相同）构成的集合的上确界称为元素 <math>x,y</math> 的'''并'''('''meet''')，记作 <math>x \vee y</math> 。

=== 代数系统定义 ===

对非空集合 <math>S</math> 及其上一个二元运算 <math>\wedge</math> ，若其满足以下'''公理'''：

* '''封闭性'''('''closure''')：<math>(\forall a, b \in S) (a\wedge b \in S)</math> ；
* '''结合性'''('''associativity''')：<math>(\forall a,b,c \in S) ((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c))</math> 。
* '''交换性'''('''commutativity''')：<math>(\forall a,b \in S) (a\wedge b = b\wedge a)</math> 。
* '''幂等性'''('''idempotency''')：<math>(\forall a \in S) (a\wedge a = a)</math> 。

则构成的代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 称为一个'''半格'''('''semilattice''')。

以上定义的代数系统中，运算 <math>\wedge</math> 称为'''交'''('''join''')，并称代数系统 <math>\langle S, \wedge \rangle</math> 为'''交半格'''('''join-semilattice''')；如果使用 <math>\vee</math> ，称为'''并'''('''meet''')，并称代数系统 <math>\langle S, \vee \rangle</math> 为'''并半格'''('''meet-semilattice''')。

=== 性质描述 ===

* 满足幂等律的交换[[半群]]称为半格。


{{二元关系复合类型}}
{{格及相关代数系统}}