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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:fang1xiang4}}
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|keywords=方向, 有向集, 滤过集, 上有向集, 下有向集
|description=本文介绍方向和有向集的定义、性质及其在序理论中的位置，包括方向作为特殊预序的特征、有向集的构造方法以及在数学各领域的应用。
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|published_time=2024-02-28
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{{InfoBox
|name=方向
|eng_name=direction
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|name=有向集
|eng_name=directed set
|aliases=滤过集,filtered set
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'''方向'''('''direction''')指[[集合]]上的一个[[预序]]对任意两个元素都存在在集合内的[[上界、下界|上界]]，或者说这个预序有一个[[最大元、最小元（序理论）|最大元]]。
也可以指其对偶关系，对任意两个元素都只有一个下界，或者说一个最小元。
元素间存在方向的[[集合]]称为'''有向集'''('''directed set''')，以上两种分别称为'''上有向集'''和'''下有向集'''。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\preceq</math> ，如果满足自反性、传递性，且任意两个元素都在集合内有上界，即：
* 自反性： <math>\forall a \in P (a \preceq a)</math> ；
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \preceq b \land b \preceq c \rightarrow a \preceq c)</math> ；
* 有上界： <math>\forall a \forall b \exists c (a \preceq c \land b \preceq c)</math> 。
称关系 <math>\preceq</math> 为一个'''方向'''('''direction''')。
并称带有方向关系的集合 <math>(P,\preceq)</math> 为'''有向集'''('''directed set''')。

在讨论有向集时往往与上下界和最大最小值的唯一性有关。其中，有上界的也称为'''上有向集'''('''upward directed set''')，有下界的称为'''下有向集'''('''downward directed set''')。

根据使用者的习惯，方向中的关系通常和预序的关系保持类似的符号，可能使用符号 <math>\preceq,\precsim,\leq</math> 之一。

注：任意两个元素有上界也可以等价地表达为任意有限子集有上界。

== 性质 ==

* 基本特征
** 方向是自反且传递的二元关系（预序），且满足任意两个元素有公共上界（或下界）；
** 上有向集要求任意两元素有公共上界；
** 下有向集要求任意两元素有公共下界。
* 有向集中的特殊元素
** 有限有向集中一定存在[[极大元、极小元]]、也一定存在[[最大元、最小元]]。

== 关联 ==

* 构造方法
** 有最大元的预序集，或者向预序集中添加一个最大元后，都是有向集
** 任意有预序的有限子集与其上界构成新的有向集
** [[全序集]]都是有向集
** 偏序集任意有限子集若有上界则构成有向集；偏序集由于不一定有上界，可能无法构成有序集
** [[半格]]是上有向集或下有向集


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{{二元关系复合类型}}