查看“︁严格全序”︁的源代码

[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:yan2ge2quan2xu4}}
{{#seo:
|keywords=严格全序, 序理论
|description=本文介绍严格全序的定义、性质和应用，包括严格全序作为反自反、传递且满足三歧性的二元关系特征。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2024-03-02
}}
{{InfoBox
|name=严格全序
|eng_name=strict total order
}}
{{InfoBox
|name=严格全序集
|eng_name=strictly totally ordered set
}}
'''严格全序'''('''strict total order''')，指[[集合]]上的一个二元[[关系]]是[[拟序]]，且同时对任意两个不同元素总有一种排列使其有关系。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math><</math> ，如果是一个拟序、且有完全性，即满足：
* 反自反性： <math>\forall a \in P (\lnot(a < a))</math>
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a < b \land b < c \rightarrow a < c)</math>
* 完全性（弱连通性）：<math>\forall a \forall b (a \neq b \rightarrow a < b \lor b < a)</math>
称关系 <math><</math> 为一个'''严格全序'''('''strict total order''')。
并称带有严格全序关系的集合 <math>(P, <)</math> 为'''严格全序集'''('''strictly totally ordered set''')。

注：完全性也被称为连通性或弱连通性，在于严格全序中，元素不再和自身成立关系。在有的定义中，完全性被三歧性代替。

== 关系图特征 ==

全部结点间构成一条链，链中任意结点存在到链方向全部结点的单向边，图中所有的边都指向这一方向的其他结点。

== 性质 ==

* 基本特征
** 严格全序是反自反、传递且满足（弱）完全性的二元关系。
** 严格全序一定是不对称关系： <math>\forall a \forall b (a < b \rightarrow \lnot (b < a))</math> 。
** 不对称性和完全性可以推出'''[[三歧性]]'''：对任意两个元素 <math>x,y</math> ，三个关系 <math>x<y</math> 、 <math>x=y</math> 、 <math>y<x</math> 必有且仅有一个成立。
* 运算性质
** 严格全序的[[交（关系）|交]]'''不一定'''是严格全序；
** 严格全序的[[并（关系）|并]]'''不一定'''是严格全序；
** 严格全序的[[复合（关系）|复合]]'''不一定'''是严格全序。
* 严格全序集中的特殊元素
** 严格全序中的[[极大元、极小元]]与[[最大元、最小元]]等价。
** 最大元、最小元如果存在则唯一。
** [[上确界、下确界]]如果存在则唯一。

== 关联 ==

* 全序和严格全序对应，可以相互转换
** 每个全序都可以诱导一个[[严格全序]]：定义 <math>x<y</math> 当且仅当 <math>x\leq y \land x\neq y</math> 。
** 每个严格全序都可以诱导一个全序：定义 <math>x\leq y</math> 当且仅当 <math>x<y \lor x=y</math> 。


{{关系}}
{{二元关系复合类型}}