查看“︁乘方”︁的源代码

[[分类:数的运算]]
{{InfoBox
|name=乘方
|eng_name=exponentiation
}}
{{InfoBox
|name=底数
|eng_name=base
|aliases=底
}}
{{InfoBox
|name=指数
|eng_name=exponent
|aliases=power,index
}}
{{InfoBox
|name=幂
|eng_name=exponential form
|aliases=方,power
}}
'''乘方'''('''exponentiation''')是一个二元[[运算]]。

乘方运算是第3级[[超运算]]，也就是说，[[自然数]]上的乘方运算可以看作重复自然数的[[乘法]]运算，即“将一个数不断重复乘以自身”的简写。

自然数上的乘方，可以随着自然数到其他数系的构造被直接延拓，但定义域有一定限制，在底数是 [[0]] 和[[负数]]的情况不能有意义地延拓到整数（非正数部分）指数和有理（分数部分）指数上。
本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的加法，参考各自的条目。

某些固定指数或底数的幂会因为常用而常常有特殊处理，如底数为 2 的 [[2 的幂]]、底数为[[自然常数]] e 的[[自然指数]]、 底数为 10 的 [[10 的幂]]，以及指数为 2 的[[平方]]、指数为 3 的[[立方]]等。

== 描述 ==

{{Operation
|name=乘方
|symbol=<math>\bullet^\bullet</math>
|latex=^
|operand=数
|result=数
}}
表达一个数若干次自乘的运算称为'''乘方'''('''exponentiation''')。
其中，被自乘的数称为'''底数'''('''base''')或简称'''底'''，指示自乘次数的数被称为'''指数'''('''exponent'''/'''power'''/index)，结果称为'''幂'''('''exponential form''')<footnote>一般说 power 是指数，有时也指整体。</footnote>。
数 <math>a</math> 作为底数、数 <math>b</math> 作为指数的幂记作 <math>a^b</math> ，读作 '''<math>a</math> 的 <math>b</math> 次幂'''/ '''<math>a</math> 的 <math>b</math> 次方''' ('''<math>a</math> (raised) to the <math>b</math>th power''' / '''<math>a</math> (raised) to the (power of) <math>b</math>''')。

特别地：
* 指数为 2 的乘方运算称为'''[[平方]]'''('''square''')运算， <math>a^2</math> 读作 '''<math>a</math>（的）（平）方''' ('''<math>a</math> squared''')；
* 指数为 3 的乘方运算称为'''[[立方]]'''('''cube''')运算， <math>a^3</math> 读作 '''<math>a</math>（的）立方''' ('''<math>a</math> cubed''')。

使用高德纳箭头也记作 <math>a \uparrow b</math> ，有时受到输入限制也简记作 <code>a^b</code>。
{{CharMetaInfo
|char=&#x2191;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2191|Upwards Arrow}}
|latex=\uparrow
}}

乘方通常是某个量自身的累积关系，因此常以平方或立方等指数固定的方式出现，只有在出现某个量的变化和自身当前值成正比之类的情况下会出现在指数位置。

== 定义 ==

=== 超运算定义 ===

对自然数 <math>a</math> ，对其进行 <math>b</math> 个自身间的[[乘法]]运算（超-2 运算），得到的结果 <math>\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_b</math> 简记作 <math>a ^ b</math> ，是 <math>a</math> 和 <math>b</math> 的超-3 运算，称为自然数的'''乘方'''。

待补充。

== 性质 ==

乘方是第一个不可交换的超运算，底数和指数有着不同的地位。

由于乘方记号中，指数部分是上标形式，不需要括号包裹整个指数部分，底数是个幂与指数是个幂的乘方运算分别记作：

<math>(a^b)^c \neq a^{b^c}</math> 

=== 特殊取值 ===

<math>1^n = 1</math>

<math>0^n = 0</math> ，其中要求 <math>n > 0</math> 。

<math>b^1 = b</math>

<math>b^0 = 1</math> ，其中要求 <math>b \neq 0</math> 。

认为底数与指数同时为 0 的 <math>0^0</math> 无意义。但是该点附近乘方运算存在不一致的[[极限]]，所以特定场景下，可以定义为 0 或 1 以使得该场景下具有良好性质，但是保证底数与指数任意变化时没有合理取值可以保证这一点上有良好性质。

同样， 0 的负指数幂由于需要满足与 0 的正指数幂互为倒数的良好性质，无意义。

负数的整数指数幂及部分有理指数幂有定义，但底数为负数，且指数是分母为偶数的有理数、或无理数时，在实数范围内无意义。

=== 同底数幂的乘法 ===

幂相乘相当于指数相加。

<math>b^{m+n} = b^m b^n</math> ，要求出现的幂均有意义，下同。

<math>b^{n+1} = b^n b = b b^n</math>

<math>b^{m-n} = b^m b^{-n} = \frac{b^m}{b^n}</math>

=== 积的乘方 ===

积的幂相当于幂的积。

<math>(ab)^n = a^n b^n</math>

=== 幂的乘方 ===

幂的幂相当于指数相乘。

<math>(a^m)^n = a^{mn}</math>


{{超运算}}