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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:chuan2di4guan1xi5}}
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|keywords=传递关系, 传递性
|description=本文介绍传递关系的定义、基本性质及其在二元关系理论中的特征，包括传递关系的关系运算性质和与偏序、等价关系的密切联系。
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|published_time=2023-07-29
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'''传递关系'''('''transitive relation''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，若任意三个元素 a 和 b 有关系， b 和 c 有关系，则 a 和 c 也一定有关系。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若 <math>\forall a \forall b \forall c (a R b \land b R c \rightarrow a R c)</math>，称：
* 关系 <math>R</math> 是'''传递的'''('''transitive''')，
* 关系 <math>R</math> 有'''传递性'''('''transitivity''')，
* 关系 <math>R</math> 是'''传递关系'''('''transitive relation''')。

等价定义：
* 与自身[[复合（关系）|复合]]后得到的关系仍是原关系的[[子关系]]，即 <math>R^2 \subseteq R</math> 。
* 与自身任意次复合后得到的关系总是原关系的子关系，即 <math>R^n \subseteq R, n\in \mathbb{N}_+</math> 。

== 性质 ==

* 表示
** 一个关系是传递的当且仅当关系图中任意一个长为 2 的路径都存在从起点到终点的有向边。
* 关系简单运算相关性质
** 传递关系的[[交关系|交]]仍是传递关系。
** 传递关系的[[并关系|并]]'''不一定'''是传递关系。
** 传递关系的复合'''不一定'''是传递关系。
** 传递关系的[[幂（关系）|幂]]仍是传递关系。
** 传递关系的[[逆关系]]仍是传递关系。
* 关系闭包运算相关性质
** 传递关系的[[自反闭包]]是[[预序关系]]。
** 传递关系的[[对称闭包]]'''不一定'''是传递关系。
** 任意关系的[[传递闭包]]是包含该关系的最小传递关系。
* 参与特殊类型关系
** 传递关系且是[[反自反关系]]的关系一定是[[不对称关系]]。
** 传递关系与[[反传递关系]]不互相排斥（蕴含前件总是为假即可。即找不到满足 <math>aRb, bRc</math> 的三个元素，任何元素不同时出现在关系有序对的前后两侧）。
** 所有[[等价关系]]都是传递关系。
** 所有[[偏序关系]]都是传递关系。


{{关系}}

== 参考资料 ==

# [https://en.wikipedia.org/wiki/Transitive_relation Transitive relation - Wikipedia]