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[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:dan1yuan2su4ji2}}
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|keywords=单元素集, 单点集
|description=本文介绍单元素集（单点集）的定义、基本概念及其在集合论中的基础作用，涵盖公理背景和数学性质。
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|published_time=2023-9-8
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{{InfoBox
|name=单元素集
|eng_name=singleton set
|aliases=单点集,one-point set
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'''单元素集'''('''singleton set''')，或单点集('''one-point set''')，是指一个[[基数]]为1的[[集合]]，即有且仅含有一个元素的集合。

== 定义 ==

满足以下几种等价条件的集合称为'''单元素集'''('''singleton set''')或单点集('''one-point set''')。
* 如果 <math>a</math> 是一个对象，那么存在集合 <math>\{a\}</math> ，集合中唯一一个元素是 <math>a</math> 。（在 [[ZF 公理系统]]中是[[对集公理]]的推论；在其他系统中有时作为公理，被称为单元素集公理）
* 只存在一个非空子集的集合。
* 只存在平凡子集的非空集合，即不存在空集及自身以外其他子集的集合。
* 只存在一种[[划分]]的非空集合。

== 性质 ==

* 集合是单元素集当且仅当其[[基数]]为 1 <math>\operatorname{card}(\{a\})=1</math> 。
* 单元素集幂集是双元素集 <math>\mathcal{P}(\{a\})=\{\varnothing,\{a\}\}</math> 。
* 单元素的[[集族]]的[[广义并]]、[[广义交]]都是对应元素。


{{集合}}