查看“︁取整函数”︁的源代码

{{InfoBox
|name=取整函数
}}
{{InfoBox
|name=下取整函数
|eng_name=floor function
|aliases=高斯函数,整数部分,integer part,integral part
}}
{{InfoBox
|name=上取整函数
|eng_name=ceiling function
}}
{{InfoBox
|name=向零取整函数
|eng_name=truncation toward zero function
|aliases=截尾函数,截尾取整函数
}}
{{InfoBox
|name=小数部分
|eng_name=fractional part
|aliases=decimal part
}}
'''取整函数'''指将[[实数]]映射到最近的[[整数]]的[[函数]]，
常见的包括'''下取整函数'''('''floor function''')和'''上取整函数'''('''ceiling function''')，
在实践中也存在向零取整的取整函数，称为'''向零取整函数'''或'''截尾取整函数'''，相当于保留0位小数的[[截尾函数]]。

历史原因，下取整函数或向零取整函数也被称为'''整数部分'''('''integer part''')，剩余部分被称为'''小数部分'''('''fractional part'''/'''decimal part''')。

== 定义 ==

{{Function
|name=下取整函数
|symbol=<math>\lfloor\bullet\rfloor</math>,<math>[\bullet]</math>
|latex=\lfloor\rfloor,[]
|prototype=单调非减函数
|domain=<math>\mathbb{R}</math>
|codomain=<math>\mathbb{Z}</math>
}}
{{Function
|name=上取整函数
|symbol=<math>\lceil\bullet\rceil</math>
|latex=\lceil\rceil
|prototype=单调非减函数
|domain=<math>\mathbb{R}</math>
|codomain=<math>\mathbb{Z}</math>
}}
{{Function
|name=小数部分
|symbol=<math>\{\bullet\}</math>
|latex=\{\}
|prototype=周期函数
|domain=<math>\mathbb{R}</math>
|codomain=<math>[0,1)</math>
}}
对实数 <math>x</math> ，
* 记整数 <math>\lfloor x \rfloor</math> 为不大于 <math>x</math> 的最大整数，即 <math>\lfloor x \rfloor = \max \{ x\in \mathbb{Z} \mid m \leq x \}</math> ，或 <math>\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1</math> ，称整数 <math>\lfloor x \rfloor</math> 为实数 <math>x</math> 的'''下取整'''，把实数映射到其下取整的函数称为'''下取整函数'''('''floor function''')；
* 记整数 <math>\lceil x \rceil</math> 为不小于 <math>x</math> 的最小整数，即 <math>\lceil x \rceil = \min \{ x\in \mathbb{Z} \mid m \geq x \}</math> ，或 <math>\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil</math> ，称整数 <math>\lceil x \rfloor</math> 为实数 <math>x</math> 的'''上取整'''，把实数映射到其上取整的函数称为'''上取整函数'''('''ceiling function''')；
* 记函数 <math>f</math> 把正实数及 0 映射到其下取整，负实数映射到其上取整，即 <math>f(x) = \begin{cases}\lfloor x \rfloor &, x \geq 0 \\ \lceil x \rceil &, x < 0\end{cases}</math> ，这样的函数称为'''向零取整函数'''。

下取整函数也记作 <math>[x]</math> ，并被称为'''<ins>高斯</ins>函数'''/'''<ins>高斯</ins>记号'''('''Gauss bracket''')，同时，被称为'''整数部分'''('''integrer/integral part''')，对应地，记 <math>\{x\} = x - [x]</math> ，称为'''小数部分'''('''fractional part''' / '''decimal part''')。但有时，整数部分也指向零取整后的整数，此时小数部分也指原数与这个意义下的整数部分之差。

== 性质 ==

取整函数总是[[单调非减]]的，且其中只有向零取整是[[奇函数]]。取整函数在整数上都是恒等操作，且都是幂等的，如果不同的取整函数叠加，只有最先的函数起作用。

顺序上， <math>\lfloor x \rfloor \leq x \leq \lceil x \rceil</math> ，且两边都只在整数时候取等号。当不是整数时，有 <math>\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 1</math> 。

改变符号时，应该同时改变取整方向，即

<math>
\begin{aligned}
& \lfloor -x \rfloor = - \lceil x \rceil \\ 
& \lceil -x \rceil = - \lfloor x \rfloor
\end{aligned}
</math>

加入整数不影响小数部分，对取整则顺序可交换，即

<math>\begin{aligned} & \lfloor x + m \rfloor = \lfloor x \rfloor + m \\ & \lceil x + m \rceil = \lceil x \rceil + m \\ & \{x + m\} = \{x\} \end{aligned}</math> 。