查看“︁同态核”︁的源代码

[[分类:群论]]
{{InfoBox
|name=核
|eng_name=kernel
|aliases=同态核
}}
'''核'''('''kernel''')指[[群同态]]中被映射到[[群]][[幺元]]的原像集。

核总是群同态定义域群的[[子群]]，且总是[[正规子群]]。

== 定义 ==

对群 <math>G,H</math> 及群同态 <math>\varphi:G\to H</math> ，有群 <math>H</math> 中的幺元 <math>e_H</math> 的原像集 <math>\varphi^{-1}(e_H) = \{g\in G \mid \varphi(g)=e_H \}</math> ，称为群同态 <math>\varphi:G\to H</math> 的（同态）'''核'''('''kernel''')，记作 <math>\ker\varphi</math> 。

注：首先有 <math>\ker\varphi \subset G</math> 。

== 性质 ==

核是一个子群。实际上，任意被映射到子群的原像集也都是子群。

核是一个正规子群。

同样地，正规子群也一定是某个群同态的核。

对群同态 <math>\varphi:G\to H</math> ，将任意群同态 <math>\alpha: K\to G</math> 中满足  <math>\varphi\circ\alpha</math> 是平凡同态的构成的范畴中，核是一个终对象。实际上，这是指核是[[群范畴]]中的核。

<math>e_G \in \ker \varphi</math> ，这是由于群同态必须把幺元映射到幺元。

单同态当且仅当 <math>\ker\varphi = \{e_G\}</math> 。


{{群论}}