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[[分类:集合]]
[[分类:公理集合论]]
[[分类:基数理论]]{{DEFAULTSORT:ji1shu4}}
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|keywords=基数, 势
|description=本文介绍集合的基数（势）概念，包括定义、记号、比较规则、基数算术和特殊基数，涵盖有限基数和超限基数。
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|published_time=2025-3-2
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|name=基数
|eng_name=cardinal number
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'''势'''('''cardinality''')表示集合的大小。可以通俗地描述为集合所包含元素的个数，但势的可能取值是自然数的推广。

'''基数'''('''cardinal number''', 简称'''cardinal''')指势的可能取值，用自然数（'''有限基数'''）衡量有限集合的大小，用其他基数（'''超限基数'''）衡量无限集合中的“无穷”的大小。区别于[[序数]]。

== 记号 ==

{{Operation
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|symbol=<math>|\bullet|</math>,<math>\mathrm{card} \bullet</math>
|latex=\vert\vert,\mathrm{card}
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集合大小的度量称为'''基数'''或'''势'''('''cardinality''')，集合 <math>A</math> 的势一般被记作 <math>|A|</math> ，也记作 <math>\mathrm{card} A</math><ref>这里的 card 即来自 cardinality 的缩写。</ref>。偶尔也有人记作 <math>\# A</math>。

{{Relation
|name=等势
|operand_relation=集合
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两集合间有相等的基数或势，称为集合'''等势'''('''have the same cardinality''')。

表示集合势的数称为'''基数'''('''cardinal number''', '''cardinal''')。

== 取值 ==

=== 比较规则 ===

集合等势当且仅当集合间存在一个[[双射]]。可通过数学归纳法证明，如此定义下，同一集合的基数是唯一的。

集合的基数有小于等于关系，当且仅当，集合间存在一个[[单射]]。

小于等于且不等于的关系定义为小于关系。

=== 自然数基数（有限基数）和超限基数 ===

对元素个数有限的集合，通过选择，总是能和 <math>\{ 1, 2, \dots, n \}</math> （ n 为自然数）建立一个双射，因此其基数就是其元素个数，是一个自然数。
基数为自然数的集合总是有限集，因此这些自然数作为基数时，称为有限基数(finite cardinals)。

对元素个数无限的集合，能够通过能否建立单射和双射，比较集合元素的多少。
大于所有有限基数（即所有自然数）的最小基数，是自然数集的势，称为 [[第一个超限基数|<math>\aleph_0</math>]] ；
很多改变有限集基数的操作（如[[并集]]、[[笛卡尔积]]）作用于自然数集实际上都仍然能找到双射，也就是没有改变 <math>\aleph_0</math> ，这说明后续的基数会更稳定，不会简单增长；
此后每个 [[ℵ 数|<math>\aleph_n</math>]] 都定义为对应[[序数]] <math>\omega_n</math> 的基数，而每个序数是上一个序数任意表达后的极限序数。
这些超出有限基数的基数统称为无限基数或超限基数(transfinite cardinals)。
（注意：公理化集合论中，需要承认[[选择公理]]等价的[[良序公理]]，才能认为每个集合都和序数一一对应，才有可比较的基数）

基数，即集合的势的可能取值，构成一个[[超限序列]]：

<math> 0, 1, 2, 3, \dots, n, \dots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots, \aleph_\alpha, \dots </math>

== 基数算术 ==

* 对有限集 <math>X</math> 和对象 <math>x \notin X</math> ， <math>\operatorname{card} (X \cup \{x\}) = \operatorname{card} X + 1</math> 。
* 对有限集 <math>X</math> 、 <math>Y</math> ， <math>X \cup Y</math> 必有限，且 <math>\operatorname{card} (X \cup Y) \leq \operatorname{card} X + \operatorname{card} Y</math> 。
** （容斥原理） <math>\operatorname{card} (X \cup Y) = \operatorname{card} X + \operatorname{card} Y - \operatorname{card}(X \cap Y)</math> 。
*** 若 <math>X</math> 和 <math>Y</math> [[不相交]]，则 <math>\operatorname{card} (X \cup Y) = \operatorname{card} X + \operatorname{card} Y</math> 。
* 对有限集 <math>X</math> 和子集 <math>Y \subseteq X</math> ， <math>Y</math> 必有限，且 <math>\operatorname{card} Y \leq \operatorname{card} X</math> 。
** 因为 <math>Y</math> 到 <math>X</math> 的[[包含映射]]是单射。
** 在此基础上，若 <math>Y \neq X</math> ，即 <math>Y \subset X</math> ， 则有 <math>\operatorname{card} Y < \operatorname{card} X</math> 。
* 对有限集 <math>X</math> 、 <math>Y</math> ， <math>X \times Y</math> 必有限，且 <math>\operatorname{card} (X \times Y) = \operatorname{card} X \cdot \operatorname{card} Y</math> 。
* 对有限集 <math>X</math> ， <math>\mathcal{P}(X)=2^X</math> 必有限，且 <math>\operatorname{card} (2 ^ X) = 2 ^ { \operatorname{card} X }</math> 。
* 对有限集 <math>X</math> 、 <math>Y</math> ， <math>X^Y</math> 必有限，且 <math>\operatorname{card} (X ^ Y) = \operatorname{card} X ^ { \operatorname{card} Y }</math> 。

以上指明有限集的规则，在无限下均无效。

* 对集合 <math>X</math> 、 <math>Y</math> ，若至少一个是无限集，则 <math>\operatorname{card} (X \cup Y) = \operatorname{card} X + \operatorname{card} Y = \max(\operatorname{card} X, \operatorname{card} Y)</math> 。
* 对集合 <math>X</math> 、 <math>Y</math> ，若至少一个是无限集，则 <math>\operatorname{card} (X \times Y) = \operatorname{card} X \cdot \operatorname{card} Y = \max(\operatorname{card} X, \operatorname{card} Y)</math> （若承认选择公理）。
* 对无限集 <math>X</math> ， <math>\mathcal{P}(X)=2^X</math> 有 <math>\operatorname{card} (2 ^ X) = 2^{\operatorname{card} X} \geq \operatorname{card} X</math> 。
* 对有限集 <math>X</math> 、 <math>Y</math> ， <math>X^Y</math> 有 <math>\operatorname{card} (X ^ Y) = \operatorname{card} X ^ { \operatorname{card} Y }</math> ，有更复杂的理论，一般 <math>\operatorname{card} X < \operatorname{card} Y</math> 时有 <math>\operatorname{card} X ^ { \operatorname{card} Y }=2 ^ { \operatorname{card} Y }</math> 。

== 特殊基数 ==

元素个数为0当且仅当集合是[[空集]]，基数为 0 。

元素个数为1的集合，基数为1，称为[[单元素集|单元素集或单点集]]。

元素个数有限的集合，基数是自然数，称为'''有限集'''('''finite set''')。

元素个数无限的集合称为'''无限集'''('''infinite set''')。

自然数集的势为 <math>\aleph_0</math> ，同等大小的称为'''可列集'''('''countable set''')。可列集和有限集统称'''可数集'''('''countable set''')，而其他的则是'''不可数集'''('''uncountable set''')。

注：由于英语不区分“可数”“可列”两个词语，有时按照语境也会混淆两个词的使用。需要区分时，“可列”也被称为“可数无限”/“可数无穷”(countably infinite)。

== 自然数集与实数集的基数 ==

实数可以通过“对角线证明”证明比自然数多，一般将其基数记作 <math>\mathfrak{c}</math> ，称为[[连续统]]，且 <math>\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}</math> 。
[[连续统假设]]即不存在自然数集（可列集）基数和实数集基数之间的基数，即断言 <math>\mathfrak{c}=\aleph_1</math> ，但目前已证明连续统假设在 [[ZFC 公理系统]]中[[独立性|独立]]，不可能在这一框架中被证明或证伪。


{{集合}}
{{数系}}