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[[分类:范畴论]]
{{InfoBox
|name=始对象
|eng_name=initial object
}}
{{InfoBox
|name=终对象
|eng_name=terminal object
|aliases=final object
}}
{{InfoBox
|name=终端对象
|eng_name=terminal object
}}
'''始对象'''('''initial object''')指一个对象，到其他对象的态射集总是有且仅有一个元素，或者说有且仅有唯一一个态射。
'''终对象'''('''terminal object''')指一个对象，来自其他对象的态射集总是有且仅有一个元素，或者说有且仅有唯一一个态射。

== 定义 ==

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> 及其中对象 <math>I</math> ，若满足 <math>\forall A\in \mathrm{Obj}(\mathscr{C})</math> 有 <math>\mathrm{Hom}_\mathscr{C}(I, A)</math> 是[[单点集]]，则称 <math>I</math> 是'''始对象'''('''initial object''', <math>I</math> is '''initial''')。

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> 及其中对象 <math>T</math> ，若满足 <math>\forall A\in \mathrm{Obj}(\mathscr{C})</math> 有 <math>\mathrm{Hom}_\mathscr{C}(A, T)</math> 是单点集，则称 <math>T</math> 是'''终对象'''('''terminal object''', <math>T</math> is '''terminal''')。

有的人将始对象和终对象统称'''终端对象'''('''terminal object''')，此时终对象不用 terminal 而用 '''final''' 。

== 说明 ==

始对象是在这个范畴中，一个对象指向所有其他对象，都能找到态射，且态射可以被对象唯一确定。

{{GiteaSvg|initial_object}}

终对象是在这个范畴中，一个对象指自所有其他对象，都能找到态射，且态射可以被对象唯一确定。

{{GiteaSvg|terminal_object}}

== 性质 ==

* 始对象、终对象互为[[对偶（范畴）|对偶]]。
* 范畴中可以不存在始（终）对象，可以存在任意多个始（终）对象。
* 若范畴中存在多个始（终）对象，则存在同构态射，使这些始（终）对象同构，或者说始（终）对象在同构意义下唯一。进一步地，每两个始（终）对象间的同构态射也就是这个唯一的态射：
** 对任意一个始（终）对象，由于任意相关态射集合都是单点集，其自同态集也是单点集，又因为必须包含一个[[单位态射]]，则始（终）对象的自同态集仅有单位态射，单位态射是同构；
** 对任意两个始（终）对象，它们之间的态射集合仅有一个元素，合成后是其中一个对象上的自同态，只能是单位态射，因此这两个态射都是同构。且这个态射本身是唯一的。

== 举例 ==

在[[集合范畴]] <math>\mathbf{Set}</math> 中：
* 始对象是[[空集]]，因为空集到任意集合都仅有唯一的[[空映射]]。
* 终对象是单点集，因为从任意集合到单点集都仅有唯一的[[常值映射]]。


{{范畴论}}