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[[分类:数论]]
[[分类:形状数]]
{{InfoBox
|name=完全平方数
|eng_name=perfect square
|aliases=平方数
}}
{{InfoBox
|name=正方形数
|eng_name=square number
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[[:分类:数论|数论]]中，'''完全平方数'''('''perfect square''')指一个[[整数]]可以被看作另一个整数的[[平方]]，也简称为'''平方数'''('''square number''')。

[[:分类:形状数|形状数]]理论中，能按照等间距圆点被排列为[[正方形]]的数称为'''正方形数'''('''square number''')。

两者为等价的概念。

== 定义 ==

对整数 <math>m \in \mathbb{Z}</math> ，若 <math>(\exists n\in \mathbb{N})(n^2 = m)</math> ，则称整数 <math>m</math> 是一个'''完全平方数'''('''perfect square''')。

作为形状数，我们也称完全平方数为'''正方形数'''('''square number''')，且我们一般称 <math>n^2 (n\geq 0)</math> 是第 <math>n</math> 个正方形数，从第 <math>0</math> 个正方形数开始。

注：由于被平方，定义可以不区分 <math>\exists n\in \mathbb{N}</math> 和 <math>\exists n\in \mathbb{Z}</math> ，但是由于序号的问题，一般默认取前者。

== 性质 ==

一阶递推：

正方形数数列中相邻两项之差是正奇数列。即 <math>n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1</math> 。也可以说 <math>n^2 = \sum_{i=1}^n (2i-1)</math> ，或者递推形式为 <math>n^2 = \begin{cases} 0&, n=0 \\ (n-1)^2 + (2n-1) &, n\geq 1 \end{cases}</math> 。

二阶递推：

递推形式为 <math>n^2 = \begin{cases} 0&, n=0 \\ 1&, n=1 \\ 2(n-1)^2 - (n-2)^2 + 2 &, n\geq 2 \end{cases}</math> 。

== 琐事 ==

=== 数列序号 ===

{{OEIS|A000290}}