查看“︁对称差”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:dui4chen4cha1}}
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|keywords=对称差, 对称差集
|description=本文介绍对称差的概念、定义、性质及其在集合运算中的应用，包括二元和多元对称差的数学表示与基本规则。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-4-11
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{{InfoBox
|name=对称差
|eng_name=symmetric difference
|aliases=对称差集
}}
'''对称差'''('''symmetric difference''')是对两个[[集合]]，包含仅[[成员关系|属于]]其中一个集合（属于第一个集合但不属于第二个集合，或属于第二个集合但不属于第一个集合）的元素的新的集合。
推广到多个集合时，对称差包含属于奇数个集合的元素。

== 定义 ==

{{Operation
|name=对称差
|symbol=<math>\triangle</math>
|latex=\triangle
|operand=集合
|result=集合
}}

对集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> ，由所有属于集合 <math>A</math> 但不属于集合 <math>B</math> 的元素，或属于集合 <math>B</math> 但不属于集合 <math>A</math> 的元素所构成的集合，叫做集合 <math>A</math> 与集合 <math>B</math> 的'''对称差'''('''symmetric difference''')，记作 <math>A \triangle B</math> ，有时也记作 <math>A \ominus B</math>。即： <math>A \triangle B = \left\{ x \mid (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x \notin A) \right\} = \left\{ x \mid (x \in A) \oplus (x \in B) \right\}</math>。

{{GiteaSvg|venn_graph/sym_diff}}

{{CharMetaInfo
|char=∆
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2206|Increment, Laplace Operator, Forward Difference, Symmetric Difference (in Set Theory)}}
|latex=\triangle
}}

== 性质 ==

作为[[布尔代数]]的运算，对称差可以定义为：<math>A \triangle B = (A \cup B) \cap (A \cap B)^\complement = (A \cap B^\complement) \cup (A^\complement \cap B)</math>。

* [[交换群]]
** 结合性：对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>(A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)</math>。
** 交换性：对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \triangle B = B \triangle A</math>。
** <math>A \triangle \varnothing = A</math>
*** [[空集]]是对称差运算的[[幺元]]。
** <math>A \triangle A = \varnothing</math>
*** 任意集合是自身在对称差运算下的[[逆元]]。
*** <math>A \triangle B = \varnothing \Leftrightarrow A = B</math>
* 其他特殊值
** 在允许[[全集]]时， <math>A \triangle U = A^\complement</math>
* 包含关系
** <math> A \triangle B \subseteq A \cup B </math>
** <math>(A \triangle B) \cap (A \cap B) = \varnothing</math>
* 和交并补的关系
** 对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)</math>。
** 对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \triangle B = A^\complement \triangle B^\complement</math>。

== 多元对称差 ==
对集合 <math>A_1, A_2, \dots , A_n</math> ，由所有属于奇数个集合的元素所构成的集合，叫做这些集合的'''对称差'''(symmetric difference)，记作 <math>A_1 \triangle A_2 \triangle \dots \triangle A_n</math> 。
即元素属于 <math>A_1, A_2, \dots , A_n</math> 中奇数个集合，
可借助[[指示函数]]和[[同余]]记作 <math>A_1 \triangle A_2 \triangle \dots \triangle A_n = \left\{ x \mid \sum_{i=1}^n \boldsymbol{1}_{A_i}(x) \equiv 1\pmod 2 \right\}</math> 。

多个集合的对称差也可以等价地定义为这些集合两两进行对称差运算的结果，由于满足结合律、交换律而顺序无关，也不需要区分二元运算和多元运算。


{{集合}}