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[[分类:映射]]
{{InfoBox
|name=常值映射
|eng_name=constant map
|aliases=常函数,常数函数,constant function
}}
'''常值映射'''('''constant map''')指一个[[映射]]把所有元素都映射到同一元素。
也指从一个集合到[[单元素集]]的唯一的映射。

本文是集合论视角的常值映射，函数视角下作为初等函数的常数函数见[[常数函数（函数）]]。

== 定义 ==

=== 通常定义 ===

对集合 <math>X</math> 和 <math>Y</math> ，以及常值 <math>c \in Y</math> ，映射 <math>f: X \to Y ; x \mapsto c</math> 是唯一的，称为'''常值映射'''('''constant map''')或'''常数函数'''('''constant function''')。

特别地，若映射的陪域为单元素集 <math>\{c\}</math> ，则映射为常值映射。对任意 <math>X</math> 和 <math>\{c\}</math> ，映射<math>f: X \to \{c\} ; x \mapsto c</math> 是唯一的。

=== 定义2 ===

常值函数的另一种相对少见的定义是：

对 <math>X</math> 到 <math>Y</math> 的映射 <math>f: X \to Y</math> ，若 <math>\forall x_1 \in X \forall x_2 \in X (f(x_1) =f(x_2))</math>，称为常值映射。

== 性质 ==

根据定义不同，在通常定义下，定义域为空集且陪域非空集的[[空映射]]也是常值映射。在定义2下，所有空映射都是常值映射。<ref>https://math.stackexchange.com/q/1949584</ref>

若定义域有超过1个元素，常值映射就不是[[单射]]。换句话说，定义域为空集或单元素集的常值映射是单射。

非空的常值映射的值域为<math>\{c\}</math>。因此陪域是单元素集的情况下，常值映射是一个[[满射]]。


{{映射}}