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[[分类:记数系统]]
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|name=平衡进位制记数法
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'''符号数字进位制记数法'''('''signed-digit positional notation''')指一种[[位值制记数法]]中，每一个数位的位权依次是特定数字（基数）的[[幂]]，且每个数位上的符号是包含正负的基数个符号。
'''平衡进位制记数法'''('''balanced positional notation''')指符号数字进位制记数法中的符号除 0 外正负各一半。若基数为偶数时，基数的一半可能允许正负同时存在。也称'''平衡进制'''或'''平衡进位制'''。

平衡进制记数法也常默认指代[[平衡三进制]]。

== 定义 ==

=== 关于记数法 ===

在位值制记数法中，若每一个数位上的位权都是某个大于 1 自然数 <math>r</math> 的幂，即 <math>\cdots,r^3,r^2,r,1,r^{-1},r^{-2},r^{-3},\cdots</math> ，且若 <math>r</math> 为奇数，每一个数位上的数字都只使用 <math>r</math> 个符号 <math>0,1,\bar{1}=-1,2,\bar{2}=-2, \cdots,d=\tfrac{r-1}{2},\bar{d}=-\tfrac{r-1}{2}</math> ，若 <math>r</math> 为偶数，每一个数位上的数字都只使用 <math>(r+1)</math> 个符号 <math>0,1,\bar{1}=-1,2,\bar{2}=-2, \cdots,d=\tfrac{r}/2,\bar{d}=-\tfrac{r}/2</math> ，则称这一类记数法为'''平衡进位制记数法'''('''balanced positional notation''')，对应这一 <math>r</math> 的具体记数法称为'''平衡 <math>r</math> 进制'''('''balanced base-<math>r</math> notation''')，自然数 <math>r</math> 称为平衡 <math>r</math> 进制中的'''基数'''('''radix''')/底数('''base''')。

=== 关于数 ===

对自然数 <math>r</math> ，若为奇数，集合 <math>D_r = \{0,1,\bar{1}=-1,2,\bar{2}=-2,\cdots,d=\tfrac{r-1}{2},\bar{d}=-\tfrac{r-1}{2}\}</math> 是一个含有 <math>r</math> 元素的符号集，记这一字符集合上的非空[[自由幺半群|字符串集]]（或描述为 [[Kleene 闭包|Kleene<sup>+</sup> 闭包]]） <math>D_r^+ = \{d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0 \mid n>=0 \land d_i \in D_r \}</math> ，通过[[等价关系]] <math>d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0 \sim 0 d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0</math> 定义的[[商集]] <math>D_r^+/\sim</math> 与自然数集 <math>\mathbb{Z}</math> 存在令 <math>0\mapsto 0</math> 的序同构，其中元素称为平衡 <math>r</math> 进制数。

对基数为偶数的进制，一般约定字符串集合有某种正规化以避免同一个数值在有一位是 <math>\pm\tfrac{r}{2}</math> 时产生多种表达。

== 记号 ==

使用平衡 <math>r</math> 进制时，通常在某一位数字上使用 <math>0,1,\bar{1},\cdots,d=\tfrac{r-1}{2},\bar{d}=-\tfrac{r-1}{2}</math> 字符，并且按照类似平常十进制的方式书写。由于上划线有循环节的含义，有时也以其他规则使用其他字符，如平衡三进制中 <math>\bar{1}</math> 常被替换为形近的 T 。

整数排列为 <math>a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_0</math> 的格式，用这一格式记录整数 <math>\sum_{i=0}^n a_i r^i = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_0</math> 。

反过来，每一位上的符号与数本身的递推关系满足：若 <math>m</math> 代表 <math>a_n a_{n-1} \cdots a_ 1 a_0</math> ，则：

<math>
\begin{aligned}
m = q_0 r + a_0 &, -\tfrac{r}{2} \leq a_0 \leq \tfrac{r}{2} \\
q_0 = q_1 r + a_1 &, -\tfrac{r}{2} \leq a_1 \leq \tfrac{r}{2} \\
q_1 = q_2 r + a_2 &, -\tfrac{r}{2} \leq a_2 \leq \tfrac{r}{2} \\
\vdots \\
q_{n-1} = 0 r + a_n &, -\tfrac{r}{2} \leq a_n \leq \tfrac{r}{2} \\
\end{aligned}
</math>

等式的右侧都是使用最小绝对余数的[[带余除法]]。但是偶数的情况下会存在多种表达，一般会有特定选择规则。

=== 小数部分 ===

若带有小数部分，则可写为 <math>a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_0 . a_{-1} a_{-2} \cdots</math> ，用这一格式记录的数为 <math>\sum_{i=0}^n a_i r^i + \sum_{i=1}^\infty a_{-i} r^{-i}= a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_0 + a_{-1} r^{-1} + a_{-2} r^{-2} + \cdots</math> 。具体数字选择与整数部分类似，特别地，尽管整数和有限小数都是唯一的，一些循环小数在奇基数下存在两种表示。

=== 进制标注 ===

平衡进制一般将数字打括号并下标 bal 及十进制标注进制基数，作为平衡进制的缩写。


{{记数法}}