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[[分类:关系]]{{DEFAULTSORT:bing4}}
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|keywords=并, 并关系, 关系的并
|description=本文介绍并关系的数学定义、基本性质、多元并集和多元关系上的并集形式，涵盖关系运算中的核心概念。
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|published_time=2023-04-15
}}
{{InfoBox
|name=并关系
|eng_name=union relation
|aliases=并,union
}}
'''并关系'''('''intersection relation''')指两个或多个[[关系]]作为子集的[[并集]]，也是“至少有这些关系之一”构成的新的关系，简称'''并'''。

== 定义 ==

=== 二元关系的并 ===
{{Operation
|name=并关系
|symbol=<math>\cup</math>
|latex=\cup
|operand=关系
|result=关系
|prototype=布尔代数
|domain=<math>\mathcal{P}(X \times Y)\times \mathcal{P}(X \times Y)</math>
|codomain=<math>\mathcal{P}(X \times Y)</math>
}}
对集合 <math>X</math> 和 <math>Y</math> 上的两个关系 <math>R</math> 、 <math>S</math> ，记并集
<math>R \cup S = \left\{ (x, y) \in X \times Y \mid (x, y) \in R \lor (x, y) \in S \right\} = \left\{ (x, y) \mid x R y \lor x S y \right\}</math>
，称为 <math>R</math> 与 <math>S</math> 的'''并关系'''('''union relation''')，简称'''并'''('''union''')。

{{GiteaSvg|venn_graph/union}}

类似地，可以定义多个关系的并集。
对集合 <math>X</math> 和 <math>Y</math> 上的关系 <math>R_1, R_2, \dots, R_n</math> ，记并集
<math>R_1 \cap R_2 \cap \dots \cap R_n = \left\{ (x, y) \mid (x, y) \in R_1 \lor (x, y) \in R_2 \lor \dots \lor (x, y) \in R_n \right\} = \left\{ (x, y) \mid x R_1 y \lor x R_2 y \lor \dots \lor x R_n y \right\}</math> ，称为 <math>R_1,R_2,\dots,R_n</math> 的'''并关系'''('''union relation''')或'''并'''('''union''')。

=== 多元关系的并 ===
对集合 <math>A_1, \cdots, A_n</math> 上的两个多元关系 <math>R</math> 、 <math>S</math> ，将并集 <math>R\cup S</math> 定义为两个关系的并关系。

类似地，可以定义多个多元关系的并集。

== 性质 ==

* 并关系是关系并集运算的结果，满足并集的所有性质。见[[并集#性质|集合并集的性质]]。
* 两个关系的并的关系矩阵与两个关系矩阵之间的关系，相当于逐元素取对应两个元素的[[逻辑或]]（逻辑和）。


{{关系}}