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[[分类:整除理论]]
{{InfoBox
|name=公倍数
|eng_name=common multiple
}}
{{InfoBox
|name=最小公倍数
|eng_name=least common multiple
|aliases=LCM,smallest common multiple
}}
'''公倍数'''('''common multiple''')指两个整数公共的[[倍数]]。

'''最小公倍数'''('''least common divisor''')指两个整数之间最小的正的公因数。

== 定义 ==

{{Operation
|name=最小公倍数
|symbol=<math>\operatorname{lcm}(\bullet,\bullet)</math>,<math>[\bullet,\bullet]</math>
|latex=\operatorname{lcm}
|operand=非零整数
|result=自然数
|domain=<math>\mathbb{Z}^*\times\mathbb{Z}^*</math>
|codomain=<math>\mathbb{N}^*</math>
}}
对两个非零整数 <math>a, b</math> ，其公共的倍数 <math>m</math> 满足 <math>a \mid m, b \mid m</math> 称为整数 <math>a, b</math> 的'''公倍数'''('''common multiple''')。
正的公倍数一定存在，因此其中必然存在最小的正整数，称为整数 <math>a, b</math> 的'''最小公倍数'''('''least common multiple''', '''LCM''')，记作 <math>\operatorname{lcm}(a, b)</math> 或 <math>[a,b]</math> 。

注：这一定义也可以定义在[[自然数]]或[[正整数]]范围内。

注：虽然 <math>[a, b]</math> 比较简洁，但这个记号相当滥用了，本 wiki 主要用这个记号标记闭区间。

一般地，对多个非零整数 <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> ，其公共的倍数 <math>m</math> 满足 <math>a_1 \mid m, a_2 \mid m, \dots, a_n \mid m</math> ，则称其为整数 <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> 的'''公倍数'''。
正的公倍数一定存在，因此其中必然存在最小的正整数，称为整数 <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> 的'''最大公因数'''，记作 <math>\operatorname{gcd}(a_1, a_2, \dots, a_n)</math> 。

特别地，对 <math>ab=0</math> 的情况，最小公倍数没有定义。

== 性质 ==

* 定义直接推论
** 对于一个元素的整数列 <math>a_1</math> ，最小公倍数是 <math>\operatorname{lcm}(a_1) = |a_1|</math> ；
** 多元最小公倍数是[[交换律|交换]]的： <math>\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_i,\dots,a_n) = \operatorname{lcm}(a_i,a_2,\dots,a_1,\dots,a_n)</math> ；
** 符号不影响最小公倍数，即 <math>\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\dots,a_n) = \operatorname{lcm}(-a_1,a_2,\dots,a_n) = \operatorname{lcm}(|a_1|,a_2,\dots,a_n)</math> ；
** 若这些数中存在整除关系，由交换性不妨设 <math>a_1 | a_2</math> ，有 <math>\operatorname{lcm}(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n) = \operatorname{lcm}(a_2,a_3,\dots,a_n)</math> 。
* 特殊值
** 对正整数 <math>a</math> ，有 <math>\operatorname{lcm}(a, a) = a</math> ；对非零整数 <math>a</math> ，则是 <math>\operatorname{lcm}(a, a) = |a|</math> 。
* 对整数 <math>a, b</math> 和整数 <math>m</math> ，有 <math>a \mid m \land b \mid m \rightarrow \operatorname{lcm}(a, b) \mid m</math> 。
** 可推广到任意个数。这是最小公倍数的本质，按整除的偏序关系，是所有“大于”这些数的数中的“最小”的，且取其中正的那个。
** <math>\operatorname{lcm}(ma, mb) = |m| \operatorname{lcm}(a, b)</math>
* 完全分配格
** 交换性： <math>\operatorname{lcm}(a, b) = \operatorname{lcm}(b, a)</math>
** 结合性： <math>\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c) = \operatorname{lcm}(a, \operatorname{lcm}(b, c))</math>
** 对偶运算： <math>\operatorname{gcd}(a, b)</math>
** 吸收率： <math>\operatorname{lcm}(a, \operatorname{gcd}(a, b)) = a</math>
** 分配性： <math>\operatorname{lcm}(a, \operatorname{gcd}(b, c)) = \operatorname{gcd}(\operatorname{lcm}(a, b), \operatorname{lcm}(a, c))</math>
* 与[[标准质因数分解]]的关系： <math>a = p_1^{s_1} p_2^{s_2} \dots p_n^{s_n}, b = p_1^{t_1} p_2^{t_2} \dots p_n^{t_n} \rightarrow \operatorname{lcm}(a, b) = a_1 = p_1^{\max \{s_1, t_1\}} p_2^{\max \{s_2, t_2\}} \dots p_n^{\max \{s_n, t_n\}}</math>
* <math>\operatorname{gcd}(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|</math>


{{整除与质数}}