查看“︁积偏序”︁的源代码

[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:ji1pian1xu4}}
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|keywords=积偏序
|description=本文介绍积偏序的定义、性质，包括在笛卡尔积上的积偏序构造。
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|published_time=2025-10-26
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{{InfoBox
|name=积偏序
|eng_name=product order
|alaises=逐分量序,componentwise order,逐坐标序,coordinatewise order
}}
'''积偏序'''('''product order''')是对多个[[偏序集]]的[[笛卡尔积]]定义的一种序关系，两个[[元组]]间序关系成立当且仅当全部对应分量间序关系成立。

== 定义 ==

{{Relation
|name=积偏序
|operand_relation=元组
|prototype=偏序
}}
对[[偏序集]] <math>(A,\preceq_A)</math> 和 <math>(B,\preceq_B)</math> ，
可定义 <math>(A\times B)</math> 上的关系 <math>\preceq</math> 满足：
* <math>(a_1,b_1)\preceq (a_2,b_2)</math> 当且仅当 <math>a_1 \preceq_A a_2 \land b_1 \preceq_B b_2</math> 。

类似地，对多个偏序集或可数个偏序集 <math>(A_1, \preceq_1), (A_2,\preceq_2), \cdots</math>
也类似定义 <math>\prod_{i=1}^\infty A_i</math> 上的关系 <math>\preceq</math> 满足：
* <math>(a_{l1},a_{l2},\cdots) \preceq (a_{r1},a_{r2},\cdots)</math> 当且仅当 <math>\bigwedge_{i=1}^\infty a_{li} \preceq_i a_{ri}</math> 。

== 性质 ==

积偏序通常是一个偏序：
* 全部小于等于时， <math>a_1 \preceq_A a_2 \land b_1 \preceq_B b_2 \leftrightarrow (a_1,b_1)\preceq (a_2,b_2)</math>
* 全部大于等于时， <math>a_2 \preceq_A a_1 \land b_2 \preceq_B b_1 \leftrightarrow (a_1,b_1)\preceq (a_2,b_2)</math>
* 两个元素间有大有小时， <math>(a_1,b_1)</math> 和 <math>(a_2,b_2)</math> 之间无法比较。