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[[分类:等价关系]]{{DEFAULTSORT:deng3jia4guan1xi=}}
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|keywords=等价关系, setoid
|description=本文介绍等价关系的定义、性质及其在集合划分中的应用，涵盖自反性、对称性和传递性，并讨论setoid概念与等价类的关联。
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|published_time=2023-7-29
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|eng_name=equivalence relation
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|eng_name=setoid
|aliases=等价关系集
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'''等价关系'''('''equivalence relation''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]同时满足[[自反性]]、[[对称性]]和[[传递性]]。
元素间存在等价关系的集合称为 '''setoid''' ，其内部被等价关系[[划分]]为多个[[等价类]]。
所有等价类构成的集合称为[[商集]]。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\sim</math> ，如果同时满足自反性、对称性、传递性，即满足：
* 自反性： <math>\forall a \in P (a \sim a)</math>
* 对称性：<math>\forall a \forall b (a \sim b \rightarrow b \sim a)</math>
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \sim b \land b \sim c \rightarrow a \sim c)</math>
称关系 <math>\sim</math> 为一个'''等价关系'''('''equivalence relation''')。
并称带有等价关系 <math>\sim</math> 的集合 <math>P</math> 为'''setoid'''。

== 关联 ==

等价关系是对称的[[预序]]关系。

== 性质 ==

* 等价关系的交仍然是等价关系。
* 等价关系根据是否是另一个等价关系的细化，存在[[格]]结构。


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