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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:deng3jia4bi4bao1}}
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|keywords=等价闭包
|description=本文介绍等价闭包的定义、计算方法及其在二元关系理论中的性质，包括等价闭包与自反闭包、对称闭包、传递闭包的关系。
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|published_time=2025-10-14
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{{InfoBox
|name=等价闭包
|eng_name=equivalence closure
|aliases=reflexive transitive symmetric closure
}}
'''等价闭包'''('''transitive closure''')是指对[[集合]]上的一个二元[[关系]]，包含其的最小的[[等价关系]]。
它是[[自反闭包]]、[[对称闭包]]和[[传递闭包]]的复合。

== 定义 ==

{{Operation
|name=等价闭包
|symbol=<math>\operatorname{eq}()</math>,<math>\bullet^\equiv</math>,<math>\bullet^\approx</math>,<math>\bullet^e</math>
|latex=\operatorname{eq},^\equiv,^\approx,^e
|operand=关系
|operand_num=1
|result=关系
|domain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
|codomain=<math>\mathcal{P}(X\times X)</math>
}}
对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，定义满足以下条件的所有关系 <math>S</math>：
* <math>S</math> 是等价关系；
* <math>S \supseteq R</math> 。
其中必有一个关系是其他所有关系的子集，称为关系 <math>R</math> 的'''等价闭包'''('''quivalence closure''')，记作 <math>\operatorname{e}(R)</math> 、 <math>R^\equiv</math> 、 <math>R^\approx</math> 或 <math>R^e</math>。

== 性质 ==

* 基本性质
** 计算： <math>\operatorname{eq}(R) = \operatorname{t}(\operatorname{s}(\operatorname{r}(R)))</math> 。
** 等价闭包是包含 <math>R</math> 的最小等价关系。
** 等价闭包运算的复合顺序：先取自反闭包，再取对称闭包，最后取传递闭包。自反的顺序不做要求，但对称闭包必须在传递闭包前进行。
** 在有限集合上，等价闭包可在有限步内计算。
* 运算性质
** 等价闭包运算是[[幂等性（一元运算）|幂等]]的： <math>\operatorname{eq}(\operatorname{eq}(R)) = \operatorname{eq}(R)</math> 。
** 等价闭包运算是[[单调性|单调]]的： 如果 <math>R \subseteq S</math> ，则 <math>\operatorname{eq}(R) \subseteq \operatorname{eq}(S)</math> 。
** 等价闭包与[[并关系|并]]运算的关系： <math>\operatorname{eq}(R \cup S) \supseteq \operatorname{eq}(R) \cup \operatorname{eq}(S)</math> 。
* 特殊关系的等价闭包
** [[空关系]]的等价闭包是[[恒等关系]]： <math>\operatorname{eq}(\emptyset) = I_X</math> 。
** [[等价关系]]的等价闭包是其自身
** [[恒等关系]]是等价关系，故其等价闭包是其自身： <math>\operatorname{eq}(I_X) = I_X</math> 。
** [[全关系]]是等价关系，故其等价闭包是其自身： <math>\operatorname{eq}(X \times X) = X \times X</math> 。
* 表示
** 等价闭包的关系矩阵是一个[[分块对角矩阵]]，只有主对角线上存在全 1 的子分块，每个这样的分块对应一个等价类。
** 等价闭包的关系图，对应于将原关系图转换为无向图后按连通分量划分，每个[[连通分量]]通过原关系图添加自环、对称边和传递边成为一个[[完全图]]。


{{关系}}