查看“︁等化子、余等化子”︁的源代码

[[分类:范畴论]]
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'''等化子'''('''equalizer''')指[[范畴]]中的某个态射，可以在复合到两个不同态射前，并使之相等。其对偶复合到两个不同态射后，称为'''余等化子'''('''coequalizer''')。

== 定义 ==

对范畴 <math>\mathscr{C}</math> 及其中对象 <math>X, Y</math> 、态射 <math>f,g: X\to Y</math> ，其构成的图 <math>X \underset f{\overset g\rightrightarrows} Y</math> 的[[极限、余极限|极限]]称为'''等化子'''('''equalizer''')，余极限称为'''余等化子'''('''coequalizer''')。

=== 等化子 ===

由于有 <math>X</math> 到 <math>Y</math> 的态射，只要有到 <math>X</math> 的态射就唯一确定了到 <math>Y</math> 的态射，也就唯一确定了一个[[锥、余锥|锥]]，因此这个极限就是到对象 <math>X</math> 的[[锥范畴]]中的[[终对象]]。

{{GiteaSvg|equalizer}}

锥范畴中的对象是使得上图中 <math>A \to X \to Y</math> 的“正方形”[[交换图|可交换]]，即 <math>f\circ a = g\circ a</math> 的全部 <math>(A, a)</math> 。
此时称任意一个 <math>a</math> 都'''等化'''('''equalize''')态射 <math>f</math> 和 <math>g</math> 。

这些 <math>(A, a)</math> 全部构成一个锥范畴，其中的终对象（极限）就是等化子。

{{GiteaSvg|equalizer_cone}}

=== 余等化子 ===

由于有 <math>X</math> 到 <math>Y</math> 的态射，只要有从 <math>Y</math> 的态射就唯一确定了从 <math>X</math> 的态射，也就唯一确定了一个[[锥、余锥|余锥]]，因此这个余极限就是从对象 <math>Y</math> 的[[余锥范畴]]中的[[始对象]]。

{{GiteaSvg|coequalizer}}

使得上图中 <math>X \to Y \to A</math> 的“正方形”[[交换图|可交换]]，即 <math>a\circ f = a\circ g</math> 的全部 <math>(A, a)</math> 。
此时称任意一个 <math>a</math> 都'''余等化'''('''coequalize''')态射 <math>f</math> 和 <math>g</math> 。

这些 <math>(A, a)</math> 全部构成一个余锥范畴，其中的始对象（余极限）就是余等化子。

{{GiteaSvg|coequalizer_cocone}}


{{范畴论}}