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[[分类:整除理论]]
{{InfoBox
|name=算术基本定理
|eng_name=fundamental theorem of arithmetic
|aliases=唯一分解定理,unique factorization theorem,质因数分解定理,prime factorization theorem
}}
'''算术基本定理'''('''fundamental theorem of arithmetic''')指大于 1 的整数总能分解成质数的乘积，且在不计顺序的意义下唯一。

算术基本定理体现了质数的本质性质，把数的乘除问题转化成其标准分解式之间的问题，且算术基本定理可以进一步推广到一些代数结构上。

== 定理 ==

大于 1 的任意整数 <math>n</math> 都能被表示为质数乘积的形式，

<math>
n = p_1 p_2 \dots p_r
</math>

其中 <math>p_1, p_2, \dots, p_n</math> 是质数。
同时，如果不计质因数 <math>p_1, p_2, \dots, p_r</math> 的次序，这一分解表示唯一。

注：将质数从小到大排列并将相同质数合并的 <math>n = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_m^{n_m}</math> 被称为[[标准质因数分解]]或标准分解。

=== 算术基本引理 ===

以下命题和算术基本定理等价。

对质数 <math>p</math> 和整数 <math>a_1, a_2</math> ，若 <math>p \mid a_1 a_2</math> ，则有 <math>p \mid a_1</math> 和 <math>p \mid a_2</math> 至少有一个成立。

一般地，对质数 <math>p</math> 和整数 <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> ，若 <math>p \mid a_1 a_2 \dots a_n</math> ，则有 <math>p \mid a_1</math> 、 <math>p \mid a_2</math> 、……、 <math>p \mid a_n</math> 至少有一个成立。


{{整除与质数}}

== 琐事 ==

=== 命名 ===

“算术基本定理”中的“算术(arithmetic)”一词是[[:分类:数论|数论]]的旧称。