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[[分类:二元关系]]{{DEFAULTSORT:zi4fan3guan1xi5}}
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|keywords=自反关系, 自反性, 自反闭包
|description=本文介绍自反关系的定义、等价表述、基本性质及其在二元关系理论中的重要性，包括自反关系在各类运算下的封闭性和与特殊关系的关系。
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|published_time=2023-04-26
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|name=自反关系
|eng_name=reflexive relation
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|name=自反性
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'''自反关系'''('''reflexive relation''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]中，集合中所有元素都与其自身有关系。

== 定义 ==

对集合 <math>X</math> 上的二元关系 <math>R</math> ，若 <math>\forall a \in X (a R a)</math>，称：
* 关系 <math>R</math> 是'''自反的'''('''reflexive''')，
* 关系 <math>R</math> 有'''自反性'''('''reflexivity''')，
* 关系 <math>R</math> 是'''自反关系'''('''reflexive relation''')。

等价定义：
* [[包含]][[恒等关系]]的关系，即 <math>I_X \subseteq R</math> ，其中 <math>I_X</math> 是 <math>X</math> 上的恒等关系。

== 性质 ==

* 表示
** 一个关系是自反的当且仅当关系矩阵对角线上的元素都是 1 。
** 一个关系是自反的当且仅当关系图每个定点都有自环。
* 关系简单运算相关性质
** 自反关系的[[交关系|交]]仍是自反关系。
** 自反关系的[[并关系|并]]仍是自反关系。
** 自反关系的[[复合（关系）|复合]]、[[幂（关系）|幂]]仍是自反关系。
** 自反关系的[[逆关系]]仍是自反关系。
** 自反关系的[[补关系]]是[[反自反关系]]。
* 关系闭包运算相关性质
** 自反关系的[[自反闭包]]是其自身
** 自反关系的[[传递闭包]]仍是自反关系
** 自反关系的[[对称闭包]]仍是自反关系
* 参与特殊类型关系
** 所有[[等价关系]]都是自反关系
** 所有[[偏序关系]]都是自反关系


{{关系}}

== 参考资料 ==

# [https://en.wikipedia.org/wiki/Reflexive_relation Reflexive Relation - Wikipedia]