查看“︁自由幺半群”︁的源代码

[[分类:群论]]
[[分类:群实例]]
{{InfoBox
|name=自由幺半群
|eng_name=free monoid
}}
{{InfoBox
|name=自由半群
|eng_name=free semigroup
}}
[[集合]]上的'''自由幺半群'''('''free group''')/'''自由半群'''('''free semigroup''')指由给定集合生成，此外没有任何额外约束的[[幺半群]]/[[半群]]。
也说一个可以看作这样生成的幺半群/半群是'''自由的'''('''free''')。

“自由(free)”是指不假定任何关系，对这个集合，使用一个“无关”的[[运算]]，并增加元素使运算保证对应公理，（不再附加任何其他条件），此时得到的就是其上的自由幺半群或自由半群。“无关”的运算指集合中没有任何几个元素之间有运算关系，因此没有任何特殊结构。

[[自然数加法半群]]同构于[[单元素集]]上的自由幺半群，[[正整数加法半群]]则是自由半群，因此自由群对应可以看作其推广。

== 定义 ==

=== 泛性质 ===

对集合 <math>A</math> ，有范畴 <math>\mathcal{F}^A</math> 满足：
* 范畴中的对象是幺半群/半群与从 <math>A</math> 到这个幺半群/半群的映射所构成的有序对 <math>(j,G)</math> ，
* 范畴中的态射是满足以下[[交换图]]的幺半群同态/半群同态 <math>\varphi</math> ，

<math>
\begin{array}{rcl}
G_1 & \xrightarrow{\varphi} & G_2 \\
{\small j_1} \uparrow & \nearrow & {\small j_2} \\
A && \\
\end{array}
</math>

其中可以认为 <math>A,j_1,G_1,j_2,G_2</math> 是[[集合范畴]]中的对象和态射， <math>G_1,G_2,\varphi</math> 是[[幺半群范畴]]（[[半群范畴]]）中的对象和态射。

则范畴 <math>\mathcal{F}^A</math> 中必然存在一个[[始对象]]，称为集合 <math>A</math> 上的'''自由幺半群'''('''free monoid''' over/on <math>A</math> )/'''自由半群'''('''free semigoup''' over/on <math>A</math> )。

其存在性由下述构造保证。

=== 构造定义 ===

<blockquote>
注：这一定义中出现的中间术语不是固定名称，不同的材料中有不同的名称选取。
</blockquote>

对集合 <math>A</math> ，称 <math>A</math> 为'''字母表'''('''alphabet''')，将 <math>A</math> 中的每一个元素称为一个'''字母'''('''letter''')，并称字母的[[连接]] <math>a_1 a_2 \cdots a_n</math> 为一个'''字'''/'''词'''('''word''')，其中 <math>a_i \in A</math> 。其中字母的个数 <math>n</math> 称为字的'''长度'''('''length''')。特别地， 0 个字母的连接也是一个字，称为'''空字'''('''empty word''')。将所有的字构成的集合记作 <math>A^*</math> ，在形式语言理论中也称为集合 <math>A</math> 的 [[Kleene 闭包]]。所有非空字构成的集合记作 <math>A^+</math> ，在形式语言理论中也称为集合 <math>A</math> 的 Kleene<sup>+</sup> 闭包。

对字 <math>a_1 a_2 \cdots a_m \in A^*</math> 和 <math>b_1 b_2 \cdots b_n \in A^*</math> ，将 <math>a_1 a_2 \cdots a_m b_1 b_2 \cdots b_n \in A^*</math> 定义为 <math>A^*</math> 上的'''连接'''('''concatenation''')。类似定义 <math>A^+</math> 上的连接。

则可以证明 <math>A^*</math> 关于 <math>A^*</math> 上的连接构成一个幺半群。
且此时可证明其由 <math>A</math> 生成，且 <math>A</math> 是一个自由生成元集，即不能由这个集合中的元素运算出运算的[[幺元]]，即空字。
这样构造出来的群满足以上始对象的要求。

同时，可证明 <math>A^+</math> 关于 <math>A^+</math> 上的连接是以上幺半群去除幺元后的半群。

=== 相关定义 ===

集合 <math>A</math> 称为自由幺半群 <math>A^*</math> /自由半群 <math>A^+</math> 的一组'''基'''/'''基底'''('''base''')，其元素称为自由幺半群/自由半群的'''生成元'''('''generator''')，这组基底的[[势]]即生成元的个数称为自由幺半群/自由半群的'''秩'''('''rank''')。

如果一个幺半群/半群可以看作由其中一部分元素生成，称这个幺半群/半群是'''自由的'''('''free''')。


{{群论}}