查看“︁覆盖”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:fu4gai4}}
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|keywords=覆盖, 集合覆盖
|description="本文介绍集合覆盖的定义、性质与特例，包括平凡覆盖和加细、子覆盖等特殊情况。
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|published_time=2025-10-12
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{{InfoBox
|name=覆盖
|eng_name=cover
|aliases=集合覆盖,covering
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集合的'''覆盖'''('''cover''')是指对一个[[集合]]，一个[[集族]]仅包含其非[[空集|空]][[包含关系|子集]]，且其中所有子集的并集包含原集合。

== 定义 ==

对于集合 <math>A</math>，如果集族 <math>C = \{A_i\}_{i \in I}</math> 满足：
* <math>A_i\neq\varnothing</math>
* <math>A = \bigcup_{i \in I} A_i</math>

则称集族 <math>C</math> 是集合 <math>A</math> 的一个'''覆盖'''('''cover''')。

注：
* 以上定义为标准定义，但也存在不一致的说法。有些定义中要求 <math>A</math> 非空，也有一些定义中不要求 <math>A_i</math> 非空。
* 这一条件隐性地要求了子集关系，即 <math>\forall i \in I, A_i \subseteq A</math> 。有的定义中也会明确指出这些集合是子集，但不是必须明确指出。

== 性质 ==

* 任意非空集合都至少存在一个覆盖，例如 <math>\{A\}</math> （由原集合自身构成的覆盖），称为'''平凡覆盖'''('''trivial cover''')。
* 如果 <math>C</math> 是 <math>A</math> 的覆盖，那么任何包含 <math>C</math> 的集族也是 <math>A</math> 的覆盖。
* 覆盖与[[划分]]的关系：每个划分都是覆盖，但覆盖不一定是划分（覆盖中的集合可以相交，有些定义不要求覆盖中的集合非空）。
* 覆盖的细化：如果覆盖 <math>\mathcal{D}</math> 中每个集合都包含于覆盖 <math>\mathcal{C}</math> 中的某个集合，则称 <math>\mathcal{D}</math> 是 <math>\mathcal{C}</math> 的'''加细'''。

== 特殊类型 ==

=== 子覆盖 ===
如果覆盖 <math>\mathcal{C}' \subseteq \mathcal{C}</math> 本身也是覆盖，则称 <math>\mathcal{C}'</math> 是 <math>\mathcal{C}</math> 的'''子覆盖'''。

=== 有限覆盖 ===
如果覆盖 <math>\mathcal{C}</math> 是[[有限集]]，则称该覆盖为'''有限覆盖'''。


{{集合}}