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[[分类:谓词逻辑]]{{DEFAULTSORT:ji4shu4liang4ci2}}
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|keywords=计数量词, 数量词
|description=计数量词是谓词逻辑中的一个广义量词，表达“存在恰X个”、“存在至多”、“存在至少”的量化概念。这个量词不是常用量词，至少的量词可以转化为存在指定个数的取值，满足条件且不相等；至多的量词可以转化为对任意超过指定个数的取值，满足条件则一定至少两个相等。
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|published_time=2023-06-23
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{{InfoBox
|name=计数量词
|eng_name=numerical quantifier
|aliases=numeric quantifier,counting quantifier
}}
{{非标准称呼}}
'''计数量词'''('''numerical quantifier''')是广义[[量词]]的一种，包括相当于自然语言中的“有（恰好、至多、至少） <math>N</math> 个不同的……满足……”。

== 定义 ==
命题中，表达“存在恰好 <math>N</math> 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 <math>\exists^{=N}</math> ；
表达“存在至多 <math>N</math> 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 <math>\exists^{\leq N}</math> ；
表达“存在至少 <math>N</math> 个不同的……使得……”的含义的量词，记作 <math>\exists^{\geq N}</math> 。

比如，对 <math>p(x)</math> ，
* 命题“存在恰好两个 <math>x</math> 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{=2} x p(x)</math> ；
* 命题“存在至多两个 <math>x</math> 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{\leq 2} x p(x)</math> ；
* 命题“存在至少两个 <math>x</math> 的取值，使得所构成的命题是真命题”，记作 <math>\exists^{\geq 2} x p(x)</math> 。

== 其他量词表示 ==
=== 常用量词表示 ===
计数量词不是常用量词，可以按以下方式表达为常用量词：

<math>\exist^{\geq N} x p(x)</math> 可以被表达为 <math>\exist x_1 \dots \exists x_N \left( \left( \bigwedge_{\begin{split}1\leq &k < N \\ k < &l \leq N\end{split}} x_k \neq x_l \right) \land \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N} p(x_k) \right) \right) </math> ，即存在 <math>N</math> 个个体对象两两不同且同时均满足谓词。

<math>\exist^{\leq N} x p(x)</math> 可以被表达为 <math>\forall x_1 \dots \forall x_{N+1} \left( \left( \bigwedge_{1 \leq k \leq N+1} p(x_k) \right) \rightarrow \left( \bigvee_{\begin{split}1\leq &k \leq N \\ k < &l \leq N+1\end{split}} x_k = x_l \right) \right) </math> ，即对任意 <math>(N+1)</math> 个个体对象若均满足谓词则至少有两个相同。

<math>\exist^{= N} x p(x)</math> 则可以等价地重新表达成 <math>\exist^{\geq N} x p(x) \land \exist^{\leq N} x p(x)</math> ，因此可以用以上两个式子的合取表示。

=== 与其他量词的关系 ===

<math>\exists^{\geq 1}</math> 是普通的[[存在量词]]、 <math>\exists^{= 1}</math> 是[[唯一量词]]，而 <math>\exists^{\leq 1}</math> “存在至多一个……”也是常见的量词。其他数目的计数量词也会出现在特定命题中，但是常见度很低。


{{谓词逻辑}}