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[[分类:整除理论]]
{{InfoBox
|name=质数
|eng_name=prime number
|aliases=素数
}}
{{InfoBox
|name=合数
|eng_name=composite number
}}
只考虑正整数范围，
'''质数'''/'''素数'''('''prime''')指仅有两个正[[因数]]的正整数（此时，这两个因数一定是 1 和自身，即两个平凡因数），
'''合数'''('''composite number''')指有至少三个正因数的正整数（或者说，存在 1 和自身以外的因数，即非平凡因数）。
正整数被分为 1，质数和合数三类。

也对应定义在整数上，此时不考虑符号的话和上面的对应。

{{InfoBox
|name=不可约数
|eng_name=irreducible number
}}
{{InfoBox
|name=可约数
|eng_name=reducible number
}}
类似地，'''不可约数'''('''irreducible number''')指不能分解成两个非单位（±1）的乘积，'''可约数'''('''reducible number''')指能分解成两个非单位（±1）的乘积。
在讨论[[整数环]]时，不可约数就是质数，可约数就是合数。但如果讨论的数环是其他结构的，这个不一定成立。

== 定义 ==

对正整数，根据其正因数的数量分为三类：
* 有一个正因数。这一分类只有 1 ，仅有 1 一个正因数。（'''单位'''('''unit''')）
* 有两个正因数。这类正整数被称为'''质数'''/'''素数'''('''prime number''')，仅有 1 和自身两个正因数。
* 有两个以上正因数。这类正整数被称为'''合数'''('''composite number''')，除 1 和自身外有非平凡的正因数。

注：也定义为是否能被 1 和自身以外的数整除。

注：也定义在整数集上，此时负数和其[[绝对值]]一同处理， ±1 都是单位。

注：在通常的整数集中，质数和合数也分别可以称为'''不可约数'''和'''可约数'''。广义上这两对名词对应环上的素元非素元、可约元不可约元，但对整数集是相同的，不做区别。

注：由于习惯因素，在[[:分类:数论|数论]]领域，通常使用“素数”一词，其他领域则更常使用“质数”一词。

通常使用字母 [[p]] 表示任意质数，多个质数则带下标。

== 性质 ==

{{InfoBox
|name=质因数
|eng_name=prime factor
|aliases=素因数,质因子,素因子
}}
* 质数有无限个。反证法将所有的整数相乘加一可知这个数一定大于最大质数且也是个质数。
** 参见[[质数计数函数]]。
* 每个大于 1 的整数都有质数的因数，称为'''质因数'''。
** 且每个大于 1 的整数总能被分解为质因数乘积形式，且忽略顺序时唯一。


{{整除与质数}}

== 琐事 ==

=== 命名 ===

“质数”或“素数”的“质”和“素”是拉丁语 {{Lat|prīmus}} 或英语 prime “首要的”或“基本的”、“单一的”、“不可再分的”的对应，两个词均取“基本”的含义<ref>[https://www.zhihu.com/question/313145593/answer/630587002 素数或质数为什么叫素数或质数，与词语「素质」有关系吗？ - 李鶱棹的回答 - 知乎]</ref>。“质”可参考“本质”、“质子”（而且这个词的翻译是用“质”对应同义的希腊源词根 proto- ）中的。“素”也是使用了“基本”的含义，并在同期翻译出了“元素”、“色素”等词。一说“素”的使用是这一词义的回流或激活<ref>[https://www.zhihu.com/question/22456389/answer/967574484 素数和质数是一样的，为什么有两个名字？ - Spenser Sheng的回答 - 知乎]</ref>。曾经两岸都有使用两个词并行的情况，目前港台及日韩以素数的说法为主。