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[[分类:记数系统]]
{{InfoBox
|name=进位制记数法
|eng_name=standard positional notation
|aliases=进制,标准位值制,标准记数法
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|name=基数
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'''进位制记数法'''('''standard positional notation''')，指一种[[位值制记数法]]中，每一个数位的位权依次是特定数（'''基数'''）的[[幂]]，且数位上的符号本身本身代表 0 到基数减一。也称'''进制'''/'''进位记数制'''。

按顺序排列这一类记数法下的数字，会呈现“满×进一”的形式，直到某一位数后续的所有位都“满”了会清空这些位并向前“进”位，因此被翻译为进（位）制。

尽管实际范围存在差异，位值制记数法常常默认指进位制记数法。不是进位制记数法的位值制记数法称为[[非标准位值制记数法]]。

== 定义 ==

=== 关于记数法 ===

在位值制记数法中，若每一个数位上的位权都是某个大于 1 自然数 <math>r</math> 的幂，即 <math>\cdots,r^3,r^2,r,1,r^{-1},r^{-2},r^{-3},\cdots</math> ，且每一个数位上的数字都只使用 <math>r</math> 个符号 <math>0,1,\cdots,r-1</math> ，则称这一类记数法为'''进位制记数法'''('''standard positional notation''')，对应这一 <math>r</math> 的具体记数法称为 '''<math>r</math> 进制'''('''base-<math>r</math> notation''')，自然数 <math>r</math> 称为 <math>r</math> 进制中的'''基数'''('''radix''')/底数('''base''')。

=== 关于数 ===

对自然数 <math>r</math> ，集合 <math>D_r = \{0,1,2,\cdots,r-1\}</math> 是一个含有 <math>r</math> 个元素的符号集，记这一字符集合上的非空[[自由幺半群|字符串集]]（或描述为 [[Kleene 闭包|Kleene<sup>+</sup> 闭包]]） <math>D_r^+ = \{d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0 \mid n>=0 \land d_i \in D_r \}</math> ，通过[[等价关系]] <math>d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0 \sim 0 d_n d_{n-1} d_{n-2} \cdots d_0</math> 定义的[[商集]] <math>D_r^+/\sim</math> 与自然数集 <math>\mathbb{N}</math> 关于[[短先字典序]]序同构，其中元素称为 <math>r</math> 进制数。

== 记号 ==

使用 <math>r\leq 16</math> 的 <math>r</math> 进制时，通常在某一位数字上使用 <math>0,1,\cdots,r-1</math> 字符，并且按照类似平常十进制的方式书写。

整数排列为 <math>a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_0</math> 的格式，用这一格式记录整数 <math>\sum_{i=0}^n a_i r^i = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_0</math> 。

反过来，每一位上的符号与数本身的递推关系满足：若 <math>m</math> 代表 <math>a_n a_{n-1} \cdots a_ 1 a_0</math> ，则：

<math>
\begin{aligned}
m = q_0 r + a_0 &, 0 \leq a_0 < r, q_0 = \lfloor\tfrac{m}{r}\rfloor \\
q_0 = q_1 r + a_1 &, 0\leq a_1 < r, q_1 = \lfloor\tfrac{q_0}{r}\rfloor \\
q_1 = q_2 r + a_2 &, 0\leq a_2 < r, q_2 = \lfloor\tfrac{q_1}{r}\rfloor \\
\vdots \\
q_{n-1} = 0 r + a_n &, 0\leq a_n < r, q_{n-1} = \lfloor\tfrac{q_{n-1}}{r}\rfloor \\
\end{aligned}
</math>

等式的右侧都是使用最小非负余数的带余除法。

=== 小数部分 ===

若带有小数部分，则可写为 <math>a_n a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_0 . a_{-1} a_{-2} \cdots</math> ，用这一格式记录的数为 <math>\sum_{i=0}^n a_i r^i + \sum_{i=1}^\infty a_{-i} r^{-i}= a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \cdots + a_0 + a_{-1} r^{-1} + a_{-2} r^{-2} + \cdots</math> 。

=== 进制标注 ===

如果需要区分具体基数，通常有三种不同表示方法：
* 下标标注进制名称的缩写；
* 将数字打括号，并下标十进制标注进制基数；
* 在末尾加进制名称的缩写。
随着计算机特别是 [[C 语言]]风格的数字表示方法的普及， C 风格的前缀表示也逐渐常见，特别是在计算机语境中。

对于基数较大的情况，则需要约定符号表或者使用十进制书写每个数位上的数字。

== 常见进制 ==

{| style='width: 100%' class='wikitable'
|-
! 基数
! 名称
! 英文名称
! 缩写
! 字母后缀表示
! C 风格前缀
|-
! 2
! [[二进制]]
| binary
| bin
| B
| <code>0b</code>
|-
! 3
! [[三进制]]
| ternary, trinary
|
|
|
|-
! 4
! 四进制
| quaternary
|
|
|
|-
! 5
! 五进制
| quinary
|
|
|
|-
! 6
! [[六进制]]
| senary, heximal, seximal
|
|
|
|-
! 7
! 七进制
| septimal, septenary
|
|
|
|-
! 8
! [[八进制]]
| octal
| oct
| O
| <code>0</code>,<code>0o</code>
|-
! 9
! 九进制
| nonary, nonal
|
|
|
|-
! 10
! [[十进制]]
| decimal, denary
| dec
| 
|
|-
! 12
! [[十二进制]]
| duodecimal, dozenal
|
|
|
|-
! 16
! [[十六进制]]
| hexadecimal, sexadecimal, sedecimal
| hex
| H
| <code>0x</code>
|-
! 36
! 三十六进制
| hexatrigesimal
|
|
|
|-
! 60
! [[六十进制]]
| sexagesimal
|
|
|
|}

此外， [[RFC 4648]] 中的 base16 、 base32 、 base64 也可以看成用进制命名的，参考对应条目。


{{记数法}}