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[[分类:二值变量运算]]
{{InfoBox
|name=逻辑与
|eng_name=logical AND
|aliases=逻辑乘法,logical multiplication
}}
'''逻辑与'''('''logical AND''')指[[二值变量]]的一种[[运算]]，相当于[[命题]][[真值]]间的[[合取]]联结词。与[[模 n 剩余类环|模 2 剩余类环]]上的乘法同构，故也称为'''逻辑乘法'''。

== 定义 ==

{{Operation
|name=逻辑与
|operand=二值变量
|result=二值变量
|prototype=布尔代数
|domain=<math>\mathbb{B} \times \mathbb{B}</math>
|codomain=<math>\mathbb{B}</math>
}}
对二值变量 <math>x, y \in \mathbb{B} = \{0,1\}</math> ，将二元运算 <math>(1,1)\mapsto 1; (0,1)\mapsto 0;(1,0)\mapsto 0;(0,0)\mapsto 0</math> 称为'''逻辑与'''('''logical AND''')运算，也称为'''逻辑乘法'''运算，记作 <math>xy</math> 或 <math>x\cdot y</math> 。也有人记作 <math>x \& y</math> 、 <math>x \&\& y</math> 或 <math>x\land y</math> 。

也可以建模为 <math>\mathbf{F}_2</math> 上的乘法。

=== 乘法表 ===

{| class='wikitable'
|-
! <math>\cdot</math>
! T
! F
|-
! T
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
|-
! F
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
|}

== 性质 ==

运算性质：
* [[结合律]]
* [[交换律]]
* 对[[逻辑或]]满足[[分配律]]
* 和逻辑或满足互相的[[吸收律]]
* 与逻辑或、[[逻辑非]]满足德·摩根律

== 多元逻辑与 ==

由于是一种符合结合律的运算，可以定义多元逻辑与运算。

== 变体 ==

=== 短路逻辑与 ===

在编程语言中，逻辑与通常被处理成一种短路的运算，也就是说两个操作数间存在一个[[顺序点]]，当左侧可以确认为 <code>false</code> 时，不再计算右侧操作数的值。

=== 三值逻辑与 ===

对[[三值逻辑变量]]，也存在对应逻辑与的同名运算。

{| class='wikitable'
|-
! <math>\cdot</math>
! T
! U
! F
|-
! T
| style='background-color: rgba(0,255,0,0.1)' | T
| U
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
|-
! U
| U
| U
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
|-
! F
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
| style='background-color: rgba(255,0,0,0.1)' | F
|}



{{逻辑运算}}