查看“︁限制、延拓（映射）”︁的源代码

[[分类:映射]]
{{InfoBox
|name=限制
|eng_name=restriction
}}
{{InfoBox
|name=延拓
|eng_name=extension
}}
'''限制'''('''restriction''')指限制一个[[映射]]的定义域到其某个[[包含关系|子集]]，仅保留自变量在这个子集内的部分。相反的称为'''延拓'''('''extension''')。

== 定义 ==

{{Operation
|name=限制映射/限制函数
|symbol=<math>\bullet|_\bullet</math>
|latex=\mid_
|operand=映射,集合
|result=映射
}}
对映射 <math>f: X\to Y</math> 及定义域的一个子集 <math>A \subseteq X</math> ，记映射 <math>f|_A : A \to Y; x \mapsto f(x)</math> ，称为 <math>f</math> 在 <math>A</math> 上的'''限制'''('''restriction''' of <math>f</math> to <math>A</math>)。

对映射 <math>f: A \to Y</math> 和 <math>g: B \to Y</math> ，有 <math>A \subseteq B</math> 及 <math>\forall x\in A, f(x)=g(x)</math> ， 称 <math>g</math> 是 <math>f</math> 在 <math>B</math> 上的一个'''延拓'''(an '''extension''' of <math>f</math> to <math>B</math>)。

注意：显然，绝大多数情况下，即使给定新定义域，延拓也并不是唯一的。

== 性质 ==

* 限制不改变定义域则不改变函数 <math>f|_X = f</math>
* 多次限制相当于直接限制到位 <math>(f|_A)|_B = f|_B</math>
* 限制相当于用[[包含映射]]进行复合以改变定义域 <math>f|_A = f \circ \iota_{A\hookrightarrow X}</math>


{{映射}}