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[[分类:关系]]{{DEFAULTSORT:xian4zhi4}}
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|keywords=限制, 关系限制
|description=本文介绍关系限制的数学定义、符号表示及其基本性质，涵盖齐次关系与非齐次关系的限制操作，以及限制关系的关系矩阵特性。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-04-15
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{{InfoBox
|name=限制
|eng_name=restriction
}}
'''限制'''('''restriction''')指对一个[[关系]]，取其在自身前域、后域的[[子集]]上构成的[[子关系]]。

== 定义 ==
{{Operation
|name=限制
|symbol=<math>\bullet_{| \bullet}</math>,<math>\bullet\big|_\bullet</math>,<math>\bullet\restriction_\bullet</math>
|latex=_{\vert},\big\vert_,\restriction_
|operand=关系
|result=关系
}}
=== 齐次关系的限制 ===
对集合 <math>X</math> 上的关系 <math>R</math> 与子集 <math>A \subseteq X</math>，定义：
<math>R_{| A} = \{ (x, y) \in R \mid x, y \in A \}</math>
称为 <math>R</math> 在 <math>A</math> 上的'''限制'''，也记作 <math>R\big|_A</math> ，有时也直接记作 <math>R|A</math>。

=== 非齐次关系的限制 ===
对集合 <math>X</math> 到 <math>Y</math> 的关系 <math>R</math>：

* 对前域的限制：若 <math>A \subseteq X</math>，则 <math>R_{|A} = \{ (x, y) \in R \mid x \in A \}</math> ，也记作 <math>R\big|_A</math> 。
* 对后域的限制：若 <math>B \subseteq Y</math>，则 <math>R^{|B} = \{ (x, y) \in R \mid y \in B \}</math> ，也记作 <math>R\big|^B</math> 。
* 同时对前后域的限制：若 <math>A \subseteq X, B \subseteq Y</math>，则 <math>R_{|A}^{|B} = \{ (x, y) \in R \mid x \in A, y \in B \}</math> ，也记作 <math>R\big|_A^B</math> 。

== 性质 ==

* 基本性质：
** <math>R_{|A} \subseteq R</math>
** <math>(R_{|A})_{|B} = R_{| A \cap B}</math>
** 若 <math>A \subseteq B</math>，则 <math>R_{|A} \subseteq R_{|B}</math>
* 与运算的关系：
** <math>(R \cup S)_{|A} = (R_{|A}) \cup (S_{|A})</math>
** <math>(R \cap S)_{|A} = (R_{|A}) \cap (S_{|A})</math>  
* 关系矩阵表示：
** 齐次关系限制的关系矩阵是原矩阵对应的[[主子矩阵]]
** 非齐次关系限制的关系矩阵是原矩阵去掉对应行或列的子矩阵


{{关系}}