查看“︁Cantor 标准型”︁的源代码

[[分类:序数理论]][[分类:以 Cantor 命名]]{{DEFAULTSORT:cantor biao1zhun3xing2}}
{{#seo:
|keywords=康托尔标准型, 康托尔范式, Cantor标准型, Cantor范式
|description=本文介绍 Cantor 标准型的定义、性质和应用，包括序数的唯一表示形式、例子及其在序数算术和集合论中的重要性。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2025-10-30
}}
{{InfoBox
|name=Cantor 标准型
|eng_name=Cantor normal form
}}
'''Cantor 标准型'''('''Cantor normal form''')是[[序数]]的一种标准表示形式。每个序数都可以唯一地表示为 [[第一个超限序数|<math>\omega</math>]] 的幂的和，这一定理在序数理论和集合论中具有基础地位。

== 定义 ==

任何序数 <math>\alpha</math> 都可以唯一表示为：
<math>\alpha = \omega^{\beta_1} \cdot k_1 + \omega^{\beta_2} \cdot k_2 + \cdots + \omega^{\beta_n} \cdot k_n</math>
其中 <math>\beta_1 > \beta_2 > \cdots > \beta_n \geq 0</math> 是序数构成的严格递减序列， <math>k_i</math> 是正整数。
特别地，对于 <math>\alpha=0</math> 的情况 <math>n=0</math> 。这种分解形式称为序数 <math>\alpha</math> 的'''Cantor 标准型'''('''Cantor normal form''')。

注：形式上类似于任何一个序数都可以按 <math>\omega</math> 进制展开。

== 变体 ==
<math>\alpha = \omega^{\beta_1} + \omega^{\beta_2} + \cdots + \omega^{\beta_n}</math>
其中 <math>\beta_1 \geq \beta_2 \geq \cdots \geq \beta_n \geq 0</math> 是序数构成的非严格递减序列。

== 性质 ==

* 唯一性。
* 从 [[第一个ε数|<math>\varepsilon_0</math>]] 开始，会出现无法用有限和表达的序数。
* 通过最高项对齐并使用指数降序字典序可以比较序数本身的序关系。