查看“︁Euler 函数”︁的源代码

[[分类:数论函数]]
[[分类:以 Euler 命名]]
{{InfoBox
|name=欧拉函数
|eng_name=Euler's totient function
|aliases=Euler's function,欧拉φ函数,Euler's phi function
}}
{{InfoBox
|eng_name=totative
}}
{{InfoBox
|eng_name=totient
}}
{{InfoBox
|eng_name=cototient
}}
'''<ins>欧拉</ins>函数'''('''Euler's totient function''')指一个函数，把一个正整数，映射到又不大于其的又与其互质的正整数数目。

== 定义 ==

{{Operation
|name=Euler 函数
|symbol=<math>\varphi()</math>,<math>\phi()</math>
|latex=\varphi,\phi
|operand=正整数
|operand_num=1
|domain=<math>\mathbb{N}^*</math>
|codomain=<math>\mathbb{N}^*</math>
}}
对正整数 <math>n</math> ，称任意不大于 <math>n</math> 且与 <math>n</math> 互质的正整数称为正整数 <math>n</math> 的一个 '''totative''' ，正整数 <math>n</math> 的 totative 的个数称为正整数 <math>n</math> 的 '''totient''' ，将不大于 <math>n</math> 的其他正整数数目称为正整数 <math>n</math> 的 '''cototient''' 。

对正整数 <math>n</math> ，记函数将任意正整数 <math>n</math> 映射到 <math>n</math> 的 totient ，称为'''<ins>欧拉</ins>函数'''('''Euler's totient function''')，记作 <math>\varphi(n)</math> ，也有时记作 <math>\phi(x)</math> 。

== 性质 ==

* Euler 函数是一个[[乘性函数（数论）|乘性函数]]。
* 可依次按 <math>p_i</math> 、 <math>p_i^k</math> 、 <math>n = \prod p_i^{n_i}</math> 顺序推断出以下结果。

将正整数 <math>n</math> 写成其[[标准分解式]]，如下：

<math>
n = \prod_{p_i \mid n} p_i^{n_i} = p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_k^{n_k}
</math>

其中 <math>p_i</math> 是互不相同的质因数。则有

<math>
\varphi(n) = n \prod_{p_i \mid n} \left( 1 - \tfrac{1}{p_i} \right) = n \left( 1 - \tfrac{1}{p_1} \right) \left( 1 - \tfrac{1}{p_2} \right) \dots \left( 1 - \tfrac{1}{p_k} \right)
</math>

等价地，可以写成

<math>
\varphi(n) = \prod_{p_i \mid n} p_i^{ n_i - 1 } \left( p_i - 1 \right) = p_1^{n_1-1} \left( p_1 - 1 \right) p_2^{n_2-1} \left( p_2 - 1 \right) \dots  p_k^{n_k-1} \left( p_k - 1 \right)
</math>

* 有 <math>\sum_{d\mid n} \varphi(d) = \sum_{d\mid n} \varphi(n/d) = n</math> 。

也就是说， Euler 函数的 [[Möbius 反演|Möbius 变换]]是[[恒等函数]] <math>n</math> 。


{{数论函数}}

== 琐事 ==

=== 命名 ===

单词 totient 有时被译为“<ins>欧拉</ins>商”或“<ins>欧拉</ins>商数”，但这个词字面含义上不正确，且很不常用，故未列出。

=== 数列编号 ===

{{OEIS|A000010}}