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[[分类:群论]]
[[分类:以 Lagrange 命名]]
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'''<ins>拉格朗日</ins>定理'''('''Lagrange's theorem''')是关于[[群]]中群大小（群的[[阶（群）|阶]]）、[[子群]]大小（子群的阶）、所划分的[[陪集]]数（子群的指数）之间关系的定理。

== 定义 ==

对群 <math>G</math> 和子群 <math>H \leq G</math> ，有左陪集空间 <math>G/H^l = \{gH \mid g\in G \}</math> ，称其[[势]]为子群 <math>H</math> 在群 <math>G</math> 中的'''指数'''('''index''' of <math>H</math> in <math>G</math> )，记作 <math>[G:H]</math> 。

注：也有人记作 <math>|G:H|</math> 。

== 引理 ==

对群 <math>G</math> 和子群 <math>H \leq G</math> 以及任意元素 <math>g \in G</math> ，子群到陪集的映射 <math>H \to gH, h \mapsto gh</math> 以及 <math>H \to Hg, h \mapsto hg</math> 一定是[[双射]]。因此，每个陪集总有相同的势。

由于左陪集空间同时是一个划分，可以按照其中元素的情况得到以下定理。

== 定理 ==

对群 <math>G</math> 和子群 <math>H</math> ，有 <math>|G| = [G:H] |H|</math> 。

注：其中的三个数 <math>|G|</math> 、 <math>|H|</math> 、 <math>[G:H]</math> 都是集合的[[基数]]，可能存在超限基数。
对于有限群，可以认为 <math>[G:H] = |G|/|H|</math> 。因此记号使用了类似相除的记号。对于无限群，右侧两个至少有一个无限；即使子群也是无限集，也只能说指数是一个非零序数，因为其可能是有限的也可能是无限的。

== 推论 ==

对 <math>H\leq G</math> ，有 <math>|H| \big| |G|</math> ，其中 <math>\big|</math> 代表[[整除关系]]。

注：逆命题不成立，任意因数不都一定存在对应阶数的子群。实际上也推不出 [[Cauchy 定理]]，即其质因数总存在对应阶子群。

== 性质 ==

若 <math>K\leq H\leq G</math> ，则 <math>[G:K] = [G:H] [H:K]</math> （'''扩展 Lagrange 定理'''('''extension of Lagrange's theorem''')）。

若 <math>H, K \leq G</math> ，则 <math>[G:H\cap K] \leq [G:H] [H:K]</math> ，即 <math>[H:H\cap K] \leq [G:K]</math>。

[[质数]]阶群一定只有平凡子群，其中幺元以外的元素生成的子群一定是其本身，因此是[[循环群]]，同构于[[模 n 剩余类加法群]]。


{{群论}}