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[[分类:整除理论]]
[[分类:以Legendre命名]]
{{InfoBox
|name=勒让德定理
|eng_name=Legendre's formula
}}
'''<ins>勒让德</ins>定理'''('''Legendre's formula''')是给出[[阶乘]][[标准质因子分解]]的定理。

显然质数能整除阶乘当且仅当其不大于阶乘中最大的一个数，这个定理进一步给出了其指数的表达形式。

== 定理 ==

对任意整数 <math>n</math> 的阶乘 <math>n!</math> ，记其分解式中质数 <math>p</math> 的指数为 <math>\nu_p(n!)</math> （即 [[p 进赋值|<math>p</math> 进赋值函数]]），有

<math>\nu_p(n!) = \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \tfrac{n!}{p^k} \right\rfloor </math>

其中项 <math>\left\lfloor \tfrac{N}{M} \right\rfloor</math> 是这 <math>N</math> 个数中能被 <math>M</math> 整除的数的个数。
且由于 <math>n!</math> 有限，右侧的无穷求和实际上仅包含几个有效项，然后的都是 0 。


{{整除与质数}}