查看“︁Legendre 符号”︁的源代码

[[分类:同余理论]]
[[分类:以Legendre命名]]
{{InfoBox
|name=勒让德符号
|eng_name=Legendre symbol
}}
'''<ins>勒让德</ins>符号'''('''Legendre symbol''')是一个为便于某奇[[质数]]模的[[二次剩余]]情况而引入的符号，表征了对应二次同余方程是否有解。

== 定义 ==

对奇质数 <math>p</math> ，对任意整数 <math>a</math> ，定义运算
<math>
\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}
1  &, a \text{ 是模 } p \text{的二次剩余} \\
-1 &, a \text{ 是模 } p \text{的二次非剩余} \\
0  &, p \mid a \\
\end{cases}
</math>
称关于 <math>a,p</math> 的二元运算 <math>\left(\frac{a}{p}\right)</math> 为'''<ins>勒让德</ins>符号'''('''Legendre symbol''')，
也称关于 <math>a</math> 的一元运算 <math>\left(\frac{a}{p}\right)</math> 为'''模 <math>p</math> 的<ins>勒让德</ins>符号'''('''Legendre symbol modulo <math>p</math>''')，

== 意义 ==

<math>\left(\frac{a}{p}\right)=1</math> 则二次同余方程 <math>x^2 \equiv a \pmod p</math> 有解。

== 性质 ==

对 <math>a</math> ：
* [[周期函数|周期性]]，且周期整除 <math>p</math> 。即 <math>\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{a+p}{p}\right)</math> 。
** 或者说 <math>a\equiv b\pmod p \Rightarrow \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)</math> 。
* [[完全乘性函数|完全乘性]]，即：
** <math>\left(\frac{1}{p}\right) = 1</math> 。
** <math>\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math> 。
* 二次剩余的定义，有 <math>\left(\frac{x^2}{p}\right) = \begin{cases} 1 &, p\not\mid x \\ 0 &, p\mid x \end{cases}</math> 。

相关定理：
* [[Euler准则|<ins>欧拉</ins>准则]]，有 <math>\left(\frac{a}{p}\right) = a^{\frac{p-1}{2}}</math>
* [[二次互反律]]，有 <math>\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}</math> 。

对 <math>a</math> 的特殊值：
* 根据<ins>欧拉</ins>准则，有
: <math>\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} = \begin{cases} 1 &, p\equiv 1 \pmod 4 \\ -1 &, p \equiv 3 \pmod 4 \end{cases}</math> ；
* 根据<ins>高斯</ins>引理计数，有：
: <math>\left(\frac{2}{p}\right) = \begin{cases} 1 &, p\equiv \pm1 \pmod 8 \\ -1 &, p \equiv \pm3 \pmod 8 \end{cases}</math> ；
: 也可以表达为 <math> (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} </math> ；
* 对 <math>p\neq 3</math> ，由<ins>高斯</ins>引理讨论计数，或由<ins>高斯</ins>二次互反律，从 <math>\left(\frac{3}{p}\right)\left(\frac{p}{3}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}</math> 分别讨论 <math>(-1)^{\frac{p-1}{2}}</math> 和 <math>\left(\frac{p}{3}\right)</math> 可得：
: <math>\left(\frac{3}{p}\right) = \begin{cases} 1 &, p\equiv \pm1 \pmod 12 \\ -1 &, p \equiv \pm5 \pmod 12 \end{cases}</math> ；
: 也可以表达为 <math>(-1)^{\left\lfloor \frac{p+1}{6} \right\rfloor}</math> ；
* 对 <math>p\neq 5</math> ，由<ins>高斯</ins>引理讨论计数，或由<ins>高斯</ins>二次互反律，从 <math>\left(\frac{5}{p}\right)\left(\frac{p}{5}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}}</math> 分别讨论 <math>(-1)^{\frac{p-1}{2}}</math> 和 <math>\left(\frac{p}{5}\right)</math> 可得：
: <math>\left(\frac{5}{p}\right) = \begin{cases} 1 &, p\equiv \pm1 \pmod 5 \\ -1 &, p \equiv \pm2 \pmod 5 \end{cases}</math> ；
: 也可以表达为 <math>(-1)^{\left\lfloor \frac{2p+2}{5} \right\rfloor}</math> 。


{{同余理论}}