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[[分类:群论]]
[[分类:以 Schreier 命名]]
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|name=Schreier细化定理
|eng_name=Schreier refinement theorem
|aliases=Schreier精细定理,Schreier精细化定理,Schreier's theorem,Schreier定理
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|name=细化
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|name=等价
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'''Schreier 细化定理'''('''Schreier refinement theorem''')是关于[[有限群]]结构的定理，描述了同一个[[群]]的两个不同[[次正规列、正规列]]总是能被细化成等价的子群序列。

== 定义 ==

=== 细化 ===

对群 <math>G</math> 的两个（次）正规列 <math>G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\}</math> 和  <math>G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\}</math> ，若 <math>H_0,H_1\dots,H_n</math> 是 <math>G_0,G_1,\dots,G_m</math> 的[[子列]]，则称（次）正规列 <math>G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\}</math> 是（次）正规列 <math>G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\}</math> 的（次）正规'''细化'''('''refinement''')。

=== 等价 ===

对群 <math>G</math> 的两个（次）正规列 <math>G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\}</math> 和  <math>G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\}</math> ，若非平凡的因子 <math>G_i/G_{i+1}</math> 和 <math>H_j/H_{j+1}</math> 之间存在[[双射]]（或者说构成相同的[[多重集]]），则称两个（次）正规列'''等价'''(are '''equivalent''')。

== 定理 ==

对群的任意两个（次）正规列，存在等价的（次）正规细化。

== 构造 ==

对两个（次）正规列 <math>G=G_0 \rhd G_1 \rhd G_2 \rhd \cdots \rhd G_m = \{e\}</math> 和  <math>G=H_0 \rhd H_1 \rhd H_2 \rhd \cdots \rhd H_n = \{e\}</math> ，
其中任意两对相邻的子群 <math>G_{i+1},G_{i},H_{j+1},H_{j}</math> ，根据 [[Zassenhaus 引理]]都有[[正规子群]]关系 <math>G_{i+1}(G_i \cap H_{j+1}) \unrhd G_{i+1}(G_i \cap H_j)</math> 且商集上有同构关系。

记 <math>G_{i,j} = G_{i+1}(G_i \cap H_j), H_{i,j}=H{j+1}(H_j \cap G_i)</math> ，可得到 <math>G_{i,j} \unrhd G_{i,j+1}</math> 且 <math>G_{i,j}/G_{i,j+1} \cong H_{i,j}/H_{i+1,j}</math> 。
因此可以得到细化的序列 <math>G = G_{0,0} \unrhd G_{0,1} \unrhd \dots \unrhd G_{0,n} \unrhd G_{1,0} \unrhd \cdots \unrhd G_{1,n} \unrhd \cdots \unrhd G_{m-1,0} \unrhd \cdots \unrhd G_{m-1,n} = \{e\}</math> 以及 <math>G = H_{0,0} \unrhd H_{1,0} \unrhd \cdots \unrhd H_{m,0} \unrhd H_{0,1} \unrhd \cdots \unrhd H_{m,1} \unrhd \cdots \unrhd H_{0,n-1} \unrhd \cdots \unrhd H_{m,n-1} = \{e\}</math> ，其中相邻的子群可能相同，且因子间满足 <math>G_{i,j}/G_{i,j+1} \cong H_{i,j}/H_{i+1,j}</math> 的对应关系。


{{有限群理论}}