查看“︁Venn 图”︁的源代码

[[分类:集合]]
[[分类:以 Venn 命名]]{{DEFAULTSORT:venn tu2}}
{{#seo:
|keywords=Venn图, 维恩图, 韦恩图, 文氏图, 集合图示, 欧拉图
|description=本文介绍Venn图（维恩图）的定义、绘制规则、表示能力及其与欧拉图的区别，涵盖在集合论中的可视化应用。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2025-10-12
}}
{{InfoBox
|name=维恩图
|eng_name=Venn diagram
|aliases=韦恩图,文氏图
}}
'''Venn 图'''('''Venn diagram''')是用平面上的闭合曲线（通常是圆形）表示[[集合]]及集合间关系的图示方法。

== 定义 ==

Venn 图使用平面上的闭合曲线（通常为圆形或椭圆形）来表示集合，用曲线内部的区域表示集合的元素，用曲线外部的区域表示不属于该集合的元素。

多个集合的 Venn 图中，不同曲线的重叠区域表示集合间的交集关系。

== 绘制规则 ==

* 每个集合用一个闭合曲线表示
* 曲线的重叠区域表示对应集合的交集
* 所有曲线的外部区域表示不属于任何这些集合的元素
* 当表示[[全集]]时，通常用一个矩形边界包含所有曲线

== 表示能力 ==

* 能够清晰表示 2~3 个集合的交、并、补等基本关系
* 对于 4 个及以上集合，使用标准圆形会变得复杂，需要特殊构造
* 在表示多于 5 个集合时，通常使用其他图示方法替代

能够直观展示集合运算的结果，如：
* 交集：重叠区域
* 并集：所有曲线覆盖的区域
* 补集：曲线外部但在矩形边界内的区域
* 差集：一个曲线内部但不与其他特定曲线重叠的区域

== Euler 图 ==

{{InfoBox
|name=欧拉图
|eng_name=Euler diagram
}}
'''Euler 图'''('''Euler diagram''')是 Venn 图的推广，不要求所有可能的交集区域都必须出现。

主要区别：
* Venn 图：必须显示所有可能的交集区域，即使某些区域为空
* Euler 图：只显示实际存在的交集关系，空交集对应的区域可以省略

== 例子 ==

=== 两个集合 ===

* 用两个部分重叠的圆表示集合 <math>A</math> 和 <math>B</math> ，外部方框表示全集 <math>U</math> {{GiteaSvg|venn_graph/two_sets}}
* 重叠部分：交集 <math>A \cap B</math> {{GiteaSvg|venn_graph/intersection}}
* 所有圆内部分：并集 <math>A\cup B</math> {{GiteaSvg|venn_graph/union}}
* 不重叠部分：差集 <math>A\setminus B</math> {{GiteaSvg|venn_graph/diff}}
* 两个不重叠加起来：对称差 <math>A\triangle B</math> {{GiteaSvg|venn_graph/sym_diff}}

=== 三个集合 ===

* 用三个两两重叠的圆表示
* 产生 8 个区域，对应所有可能的交集组合
{{GiteaSvg|venn_graph/three_sets}}

=== 更多集合 ===

由于圆形比较规则，区域数有限，无法表达四个及以上的，一般会使用更加复杂的形状<ref>如何证明四个及以上集合的维恩图用圆形无法表示出？ - 酱紫君的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/419193541/answer/2468139474</ref>。四个集合的 Venn 图一般使用两对倾斜的椭圆。产生 16 个区域。

== 应用范围 ==

Venn 图广泛应用于以下几个数学分支：
* 集合论，用于分析集合间交集情况
* 逻辑学，用于分析条件是否同时成立的关系
* 概率论，用于分析多个事件是否发生的关系


{{集合}}

== 琐事 ==

=== 历史 ===

Venn 图由英国逻辑学家约翰·维恩（John Venn）在 1880 年左右的著作中系统引入并推广，因此得名。

类似的图示方法更早由 Leibniz 和 Euler 等人使用，但 Venn 使其系统化并广泛应用。