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[[分类:同余理论]]
{{InfoBox
|name=威尔逊定理
|eng_name=Wilson's theorem
}}
'''<ins>威尔逊</ins>定理'''('''Wilson's theorem''')指[[质数]]模下，[[阶乘]]与 -1 [[同余]]，

可以更广泛地推广为，一些特殊的模下，[[简化剩余系]]的[[累积]]与 -1 同余。

== 定理 ==

<math>p</math> 是质数，当且仅当 <math>(p-1)! \equiv -1 \pmod p</math> 。

== 扩展 ==

如果考虑同余式左侧换为一个[[简化剩余系]]时，这一同余式对模数为 1、2、4、奇质数幂 <math>p^l</math> 、 <math>2 p^l</math> 的情况仍然成立，即：

<math>\prod_{0 < k < n,\operatorname{gcd}(k,n)=1} k \equiv -1 \pmod n</math>

<math>p</math> 是质数只是恰好使得同余式左侧变为阶乘形式。

== 性质 ==

考虑 <math>(n-1)!</math> 模 <math>n</math> 的最小非负剩余，有：
* 若 <math>n</math> 为质数，有 <math>(n-1)! \equiv n-1 \pmod n</math> 。
* 若 <math>n = 4</math>，有 <math>(n-1)! \equiv 2 \pmod n</math> 。
* 其他情况下，有 <math>(n-1)! \equiv 0 \pmod n</math> 。


{{同余理论}}