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[[分类:模型论]]
{{InfoBox
|name=模型同构
|eng_name=isomorphism of models
}}
模型的同构指两个[[模型]]有相同的构造。
仅需包含一个[[双射]]来连接两侧的[[个体词（谓词逻辑）|个体常项]]、[[谓词]]、[[函项]]，
此时对应的[[项（谓词逻辑）|项]]和[[谓词公式|公式]]就会出现对应的关系。

== 定义 ==

对模型 <math>\mathfrak{A}=\langle A,I \rangle,\mathfrak{B}=\langle B,J \rangle</math> ，若存在[[双射]] <math>f: A\to B</math> 使得：
* 对任意个体常项 <math>c</math> ， <math>f(c^{\mathfrak{A}}) = c^{\mathfrak{B}}</math>
* 对任意 <math>n</math> 元谓词 <math>P</math> ，及 <math>a_1, \dots, a_n \in A</math> ，有 <math>P^{\mathfrak{A}}(a_1, \dots, a_n)</math> 当且仅当 <math>P^{\mathfrak{B}}(f(a_1), \dots, f(a_n))</math>
* 对任意 <math>n</math> 元函项 <math>g</math> ，及 <math>a_1, \dots, a_n \in A</math> ，有 <math>f(g^{\mathfrak{A}}(a_1, \dots, a_n))</math> 当且仅当 <math>g^{\mathfrak{B}}(f(a_1), \dots, f(a_n))</math>
则称模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> 同构， <math>f</math> 称为从 <math>\mathfrak{A}</math> 到 <math>\mathfrak{B}</math> 的同构映射。

== 性质 ==

若满足模型同构的定义，分别在两个模型 <math>\mathfrak{A},\mathfrak{B}</math> 上的赋值 <math>\sigma,\tau</math> 满足对每个个体变项 <math>x</math> 有 <math>f(x^\sigma) = x^\tau</math> ，则：
* 根据项的递归定义，对任意项 <math>t</math> ，有 <math>f(t^\sigma) = t^\tau</math> 。
* 根据公式的递归定义，此时 <math>\sigma\vDash\phi</math> 当且仅当 <math>\tau\vDash\phi</math> 。

因此，对每个[[理论（逻辑）|理论]] <math>\Gamma</math> ， <math>\mathfrak{A}\vDash\Gamma</math> 当且仅当 <math>\mathfrak{B}\vDash\Gamma</math> 。
也就是说无论什么理论，若它有一个模型，就一定还有所有与这一模型不同、且与这一模型同构的模型。


{{模型论}}