同构（模型）
| 模型同构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型同构 |
| 英语名称 | isomorphism of models |
模型的同构指两个模型有相同的构造。 仅需包含一个双射来连接两侧的个体常项、谓词、函项， 此时对应的项和公式就会出现对应的关系。
定义
对模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=\langle A,I \rangle,\mathfrak{B}=\langle B,J \rangle }[/math] ，若存在双射 [math]\displaystyle{ f: A\to B }[/math] 使得：
- 对任意个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] ， [math]\displaystyle{ f(c^{\mathfrak{A}}) = c^{\mathfrak{B}} }[/math]
- 对任意 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，及 [math]\displaystyle{ a_1, \dots, a_n \in A }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P^{\mathfrak{A}}(a_1, \dots, a_n) }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ P^{\mathfrak{B}}(f(a_1), \dots, f(a_n)) }[/math]
- 对任意 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ g }[/math] ，及 [math]\displaystyle{ a_1, \dots, a_n \in A }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ f(g^{\mathfrak{A}}(a_1, \dots, a_n)) }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ g^{\mathfrak{B}}(f(a_1), \dots, f(a_n)) }[/math]
则称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] 同构， [math]\displaystyle{ f }[/math] 称为从 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 到 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的同构映射。
性质
若满足模型同构的定义，分别在两个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] 上的赋值 [math]\displaystyle{ \sigma,\tau }[/math] 满足对每个个体变项 [math]\displaystyle{ x }[/math] 有 [math]\displaystyle{ f(x^\sigma) = x^\tau }[/math] ，则：
- 根据项的递归定义，对任意项 [math]\displaystyle{ t }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ f(t^\sigma) = t^\tau }[/math] 。
- 根据公式的递归定义，此时 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \tau\vDash\phi }[/math] 。
因此，对每个理论 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] ， [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\Gamma }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\Gamma }[/math] 。 也就是说无论什么理论，若它有一个模型，就一定还有所有与这一模型不同、且与这一模型同构的模型。