同构（模型）
| 模型同构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模型同构 |
| 英语名称 | isomorphism of models |
模型的同构(isomorphism)指两个模型有相同的结构。 仅需包含一个双射来连接两侧的个体常项、谓词、函项， 此时对应的项和公式就会出现对应的关系。
这意味着两个模型之间可以不丢失信息地相互表示，其描述的两种语言或理论在结构上一致。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 上有相同签名的两个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}=\langle A,I \rangle,\mathfrak{B}=\langle B,J \rangle }[/math] ，若存在双射 [math]\displaystyle{ f: A\to B }[/math] 使得：
- 对任意个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] ， [math]\displaystyle{ f(c^{\mathfrak{A}}) = c^{\mathfrak{B}} }[/math]
- 对任意 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元谓词 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，及 [math]\displaystyle{ a_1, \dots, a_n \in A }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P^{\mathfrak{A}}(a_1, \dots, a_n) }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ P^{\mathfrak{B}}(f(a_1), \dots, f(a_n)) }[/math]
- 对任意 [math]\displaystyle{ n }[/math] 元函项 [math]\displaystyle{ g }[/math] ，及 [math]\displaystyle{ a_1, \dots, a_n \in A }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ f(g^{\mathfrak{A}}(a_1, \dots, a_n)) }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ g^{\mathfrak{B}}(f(a_1), \dots, f(a_n)) }[/math]
则称模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] 同构，记作 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\cong\mathfrak{B} }[/math] ， [math]\displaystyle{ f }[/math] 称为从 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 到 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的同构映射。
性质
若满足模型同构的定义，分别在两个模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A},\mathfrak{B} }[/math] 上的赋值 [math]\displaystyle{ \sigma,\tau }[/math] 满足对每个个体变项 [math]\displaystyle{ x }[/math] 有 [math]\displaystyle{ f(x^\sigma) = x^\tau }[/math] ，则：
- 根据项的递归定义，对任意项 [math]\displaystyle{ t }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ f(t^\sigma) = t^\tau }[/math] 。
- 根据闭式的递归定义，对任意闭式有 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\phi }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\phi }[/math] 。也就是说若两个模型同构，则一定初等等价。同构是一个比初等等价更强的要求。
- 根据公式的递归定义，此时 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \tau\vDash\phi }[/math] 。
因此，对每个理论 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] ， [math]\displaystyle{ \mathfrak{A}\vDash\Gamma }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}\vDash\Gamma }[/math] 。 也就是说无论什么理论，若它有一个模型，就一定还有所有与这一模型不同、且与这一模型同构的模型。
| 模型论 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 研究对象 | 理论和模型 | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] | 形式语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 的模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] | |
| 刻画性质 | 语法一致性、可满足性/语义一致性、完备性 | 签名、基数（有限、无穷） | ||
| 相互关系 | 模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的理论（理论集 [math]\displaystyle{ \operatorname{Th}\mathfrak{A} }[/math] ） | 理论 [math]\displaystyle{ T }[/math] 的模型 | ||
| 模型间的关系 | ||||
| 同构 | 同构 [math]\displaystyle{ \cong }[/math] | |||
| 子模型相关 | 子模型（子结构）、扩张 | 模型链 | 同构嵌入 | |
| 初等子模型相关 | 初等子模型（初等子结构） [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 、初等扩张 [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] | 初等链、初等链的极限 | 初等嵌入 | |
| 初等等价 | 初等等价 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] | |||
| 相关定理 | Tarski 初等链定理、 Tarski–Vaught 测试 | |||
| 图引理、初等图引理 （常量符号“加入”语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_A }[/math] /常量符号“加入”模型 [math]\displaystyle{ \mathfrak{M}_A }[/math] 、 原子图 [math]\displaystyle{ D(\mathfrak{A}) }[/math] 、初等图 [math]\displaystyle{ D_{el}(\mathfrak{A}) }[/math]） | ||||
| 理论是否完备、是否确定模型结构——理论的不同构模型数目问题 | ||||
| 刻画 | Löwenheim–Skolem 定理、 [math]\displaystyle{ \kappa }[/math]-范畴性 | |||
| 应用 | 模型分类 | 标准模型、非标准模型 | ||
| 定理 | （Gödel 不完备定理）、转换原理、 Łoś–Vaught 测试 | |||
| 理论是否确定模型结构完备——理论的模型完备性理论 | ||||
| 模型完备性 | 理论的模型完备性 | 理论的子模型完备性 | 理论的模型完备化 | |