查看“︁弱序”︁的源代码

[[分类:序理论]]
{{InfoBox
|name=弱序
|eng_name=weak ordering
}}
{{InfoBox
|name=弱序集
|eng_name=weakly ordered set
}}
'''弱序'''('''weak ordering''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]是一个[[全关系|完全]]的[[预序]]。
元素间存在弱序关系的[[集合]]称为'''弱序集'''('''weakly ordered set''')。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\precsim</math> ，如果是一个预序、且有完全性，即满足：
* 自反性： <math>\forall a \in P (a \precsim a)</math>
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \precsim b \land b \precsim c \rightarrow a \precsim c)</math>
* 完全性： <math>\forall a \forall b (a \precsim b \lor b \precsim a)</math>
称关系 <math>\precsim</math> 为一个'''弱序'''('''weak order''')。
并称带有弱序关系的集合 <math>(P, \precsim)</math> 为'''弱序集'''('''weakly ordered set''')。

=== 全序划分定义 ===

以下定义与上述定义等价。

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\precsim</math> 若满足，若存在其一个[[划分]] <math>\mathcal{P} = \{P_1, P_2, \dots\}</math> 上的[[全序]] <math>\leq</math> ，使得 <math>(\forall p_1 \in P_1) (\forall p_2 \in P_2) (p_1 \precsim p_2 \leftrightarrow P_1 \leq P_2)</math> ，则称关系 <math>\precsim</math> 为一个'''弱序'''('''weak order''')。

== 关联 ==

弱序的特征是内部元素的先后关系的传递性可能使其产生层次，每个层次内可能有相互之间都有关系的多个元素。
这里的层次是由于被传递性和完全性要求的“互相有关系”必须是一种等价关系，也就是一个划分，且划分间剩下一个全序。

弱序是完全的偏序。

如果弱序是反对称的，即不允许同一级内有等价的元素，只剩下每个层次只有一个元素的“链”，是[[全序]]。


{{关系}}
{{二元关系复合类型}}