弱序
| 弱序 | |
|---|---|
| 术语名称 | 弱序 |
| 英语名称 | weak ordering |
| 弱序集 | |
|---|---|
| 术语名称 | 弱序集 |
| 英语名称 | weakly ordered set |
弱序(weak ordering)指集合上的一个二元关系是一个完全的预序，或者说同时是自反关系、传递关系、完全关系。 元素间存在弱序关系的集合称为弱序集(weakly ordered set)。
定义
对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] ，如果是一个预序、且有完全性，即满足：
- 自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \precsim a) }[/math] ；
- 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \precsim b \land b \precsim c \rightarrow a \precsim c) }[/math] ；
- 完全性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \precsim b \lor b \precsim a) }[/math] 。
称关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 为一个弱序(weak order)。 并称带有弱序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \precsim) }[/math] 为弱序集(weakly ordered set)。
根据使用者的习惯，若序中的关系通常会使用符号 [math]\displaystyle{ \preceq,\precsim,\leq }[/math] 之一。
全序划分定义
以下定义与上述定义等价。
对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] ，若存在其一个划分 [math]\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P_1, P_2, \dots\} }[/math] 上的全序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] ， 使得 [math]\displaystyle{ (\forall p_1 \in P_1) (\forall p_2 \in P_2) (p_1 \precsim p_2 \leftrightarrow P_1 \leq P_2) }[/math] ，则称关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 为一个弱序(weak order)。
关系图特征
- 弱序中相互成立关系的元素构成等价关系，每个等价类在关系图中表现为一个团。
- 团之间是一个全序，也就是说集合被分为多个团，每个团是一个层次，每个层次中任意元素向更高层次中任意元素都存在单向边。
性质
- 基本特征
- 弱序是自反、传递且完全的二元关系
- 运算性质：
- 弱序集中的特殊元素
- 构造方法
- 等价关系和全序的复合是弱序。
关联
- 弱序是完全关系的预序。
- 若一个弱序是对称关系，则其是全关系。
- 弱序进行对称闭包会得到全关系。
- 每个弱序都可以诱导一个等价关系：定义 [math]\displaystyle{ x \sim y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x \precsim y \land y \precsim x }[/math] 。
- 这个等价关系将弱序集划分为等价类。
- 在等价类集合上，弱序诱导一个全序（这一点预序集仅能保证偏序）。
- 若一个预序是反对称关系，则其是全序。也就是不允许两个元素双方向成立关系，此时关系图中的团被消除，每个团只能是单个结点，成为一条链。
- 弱序在等价类上诱导一个全序， 就是弱序在诱导出的等价关系下的商集。
- 每个弱序都可以诱导一个严格弱序：定义 [math]\displaystyle{ x \prec y }[/math] 当且仅当 [math]\displaystyle{ x \precsim y \land y \not\precsim x }[/math] 。
| 二元关系复合类型 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 名称 | 自反、反自反 | 对称、反对称 | 传递 | 其他 | |
| 相容关系 | 自反 | 对称 | - | - | |
| 预序 | 自反 | - | 传递 | - | |
| 等价关系 | 自反 | 对称 | 传递 | - | |
| 方向 | 自反 | - | 传递 | 有上/下界 | |
| 偏序 | 自反 | 反对称 | 传递 | - | |
| 半格 | 自反 | 反对称 | 传递 | 有上/下确界 | |
| 弱序/全序划分 | 自反 | - | 传递 | 完全 | |
| 全序 | 自反 | 反对称 | 传递 | 完全 | |
| 良序 | 自反 | 反对称 | 传递 | 完全、良基 | |
| 不对称 | 反自反 | 反对称 | - | - | |
| 拟序/严格偏序 | 反自反 | 反对称 | 传递 | - | |
| 严格弱序/严格全序划分 | 反自反 | 反对称 | 传递 | 不可比关系传递 | |
| 严格全序 | 反自反 | 反对称 | 传递 | 完全 | |