弱序

弱序
术语名称	弱序
英语名称	weak ordering

弱序集
术语名称	弱序集
英语名称	weakly ordered set

弱序(weak ordering)指集合上的一个二元关系是一个完全的预序。 元素间存在弱序关系的集合称为弱序集(weakly ordered set)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] ，如果是一个预序、且有完全性，即满足：

• 自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \precsim a) }[/math]
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \precsim b \land b \precsim c \rightarrow a \precsim c) }[/math]
• 完全性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \precsim b \lor b \precsim a) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 为一个弱序(weak order)。 并称带有弱序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P, \precsim) }[/math] 为弱序集(weakly ordered set)。

全序划分定义

以下定义与上述定义等价。

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 若满足，若存在其一个划分 [math]\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P_1, P_2, \dots\} }[/math] 上的全序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ (\forall p_1 \in P_1) (\forall p_2 \in P_2) (p_1 \precsim p_2 \leftrightarrow P_1 \leq P_2) }[/math] ，则称关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 为一个弱序(weak order)。

关联

弱序的特征是内部元素的先后关系的传递性可能使其产生层次，每个层次内可能有相互之间都有关系的多个元素。 这里的层次是由于被传递性和完全性要求的“互相有关系”必须是一种等价关系，也就是一个划分，且划分间剩下一个全序。

弱序是完全的偏序。

如果弱序是反对称的，即不允许同一级内有等价的元素，只剩下每个层次只有一个元素的“链”，是全序。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全