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[[分类:序数理论]]
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|name=序数
|eng_name=ordinal number
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'''序数'''('''ordinal number''')指给定一个标准集合与其他集合进行保持顺序的一一对应。

序数用自然数（'''有限序数'''）衡量有限良序集合中元素的顺序，用后续的序数（'''超限序数'''）衡量无限良序集合中的“无穷”的顺序。区别于[[基数]]。

== 记号 ==

按照 von Neumann 的自然数构造，即 <math>0=\varnothing, S(a)=a\cup \{a\}</math> ，并有序 <math>a<b \leftrightarrow a\in b</math> ，此时总是有两种构造下一个序数的方式：
* '''后继序数'''：当存在当前序数集合最后一个序数时，这个序数的后继必然后序于已经有的序数，即 <math>(\forall a)( a<a')</math> 。
* '''极限序数'''：当当前序数集合是无限的且没有最大元素时，可构造这些序数的上确界为全体元素的广义并。记序数集合 <math>A = \{0,1,\cdots\}</math> 没有最大元素，则其广义并 <math>\bigcup A</math> 满足 <math>(\forall a \in A) (a < \bigcup A)</math> 。
这种序上的上确界是后继对于无限个元素的扩展。

现在定义一种有良序的数，反过来类似倒计时地进行某种可跳步的状态，任何一个自然数可以到达小于它的自然数的状态。任何一个自然数都后序于任意小于它的自然数，但是若存在一个状态接下来允许数任意自然数，这就是全体自然数后的序数，这里就遇到了第一个不属于自然数的集合。这个集合是一个极限序数，自然数集上的广义并 <math>\bigcup\mathbb{N}</math> ，其必然后序于全体自然数。尽管这一广义并是自然数集 <math>\mathbb{N}</math> 本身，作为序数时，记这一序数为 <math>\omega</math> <ref>一般来说， <math>\mathbb{N}</math> 指集合，而 <math>\omega</math> 指序型，应当区分使用两个记号。</ref>，也记作 <math>\omega_0</math>。
与自然数序数相区别，，从这一序数起，称为'''超限序数'''。

类似于自然数中所有数都有后继，序数 <math>\omega</math> 也存在后继 <math>\omega+1 > \omega</math> 。对应状态就是下一步允许走到 <math>\omega</math> 状态。以此类推，有 <math>\omega+2,\omega+3,\cdots</math> 。

考虑到是 1 后下降到 <math>\omega</math> ，这里的 <math>\omega+1</math> 表示正过来数时先“数完”了自然数后再数 1 （注意下，前面状态的例子里是倒数的，所以 1 后到 <math>\omega</math> ，正数的顺序就是反过来的先自然数再 1 ），所以不能写作 <math>1+\omega</math> ，后者的顺序可以理解成先数一个 1 再从 0 开始数全部自然数，仅仅相当于把所有的编号都进行了一次错位地“数遍”了自然数，也就是说 <math>1+\omega=\omega</math> 。这里加法无法交换，[[加法]] <math>a+b</math> 表示“在数完 <math>a</math> 后再数 <math>b</math> ”，也就是“将 <math>b</math> 加到 <math>a</math> 上”的定义，可以称这里的 <math>a</math> 为被加数， <math>b</math> 为加数。

类似地，序列 <math>\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots</math> 存在上确界，对应被加数不变，加数把自然数“数遍”之后的序数，也就是 <math>\omega+\omega</math> ，记作 <math>\omega\times 2</math> 或 <math>\omega\cdot 2</math> 。这里乘法无法交换，[[乘法]] <math>a\times b</math> 表示“将数完 <math>a</math> 的动作重复 <math>b</math> 次”，也就是“重复 <math>b</math> 次的 <math>a</math> 相加”的定义，可以称这里的 <math>a</math> 为被乘数， <math>b</math> 为乘数。在这一定义下，用 <math>\omega\times 2</math> 表示  <math>\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots</math> 后的极限序数，也就是“数遍”自然数两次，而记号 <math>2\omega</math> 是两个两个地数，并“数遍”自然数次，也就是 <math>2\times 0,2\times 1,2\times 2,\cdots</math> 这个非负偶数列之后的极限序数，非负偶数和自然数之间存在双射，因此后面的极限序数也就是 <math>\omega</math> 本身了。

继续进行后继，则有 <math>\omega\times2,\omega\times2+1,\omega\times2+2,\cdots</math> ，最终“数遍”全体自然数到达极限序数 <math>\omega\times 2+\omega</math> ，记作 <math>\omega\times 3</math> 。以此类推。

类似地，序列 <math>\omega,\omega\times 2,\omega\times 3,\cdots</math> 存在上确界，对应被乘数不变，乘数把自然数“数遍”之后的序数，也就是 <math>\omega\times\omega</math> ，记作 <math>\omega^2</math> 。这里[[乘方]]类似正常定义， <math>a^b</math> 表示“重复 <math>b</math> 次 <math>a</math> 相乘”。

继续进行后继，则有 <math>\omega^2,\omega^2+1,\omega^2+2,\cdots</math> ，最终“数遍”全体自然数到达极限序数 <math>\omega^2+\omega</math> 。然后是 <math>\omega^2+\omega+1,\omega^2+\omega+2,\omega^2+\omega+3,\cdots</math> ，然后到达极限序数 <math>\omega^2+\omega+\omega=\omega^2+\omega\times2</math> 。以此类推有序列 <math>\omega^2 +\omega\times3,\omega^2 +\omega\times4,\omega^2 +\omega\times5\cdots</math> ，最后的极限序数是 <math>\omega^2 +\omega\times\omega=\omega^2+\omega^2</math> ，按上述乘法定义记作 <math>\omega^2\times 2</math> 。继续取后继 <math>\omega^2\times2 +1</math> 开始，得到极限序数 <math>\omega^2\times2+\omega,\omega^2\times2+\omega\times 2,\omega^2\times2+\omega\times 3\cdots</math> ，并进一步得到极限序数 <math>\omega^2\times2+\omega\times\omega=\omega^2\times 3</math> ，重复此流程得到 <math>\omega^2\times4,\omega\times 5,\omega^2\times 6</math> 等，得到极限序数 <math>\omega^2\times\omega</math> ，记作 <math>\omega^3</math> ，以此类推。

重复以上流程取后继和极限，会得到序列 <math>\omega,\omega^2,\omega^3,\cdots</math> ，再后面极限序数就称为 <math>\omega^\omega</math> 。

重复此流程增加指数上的数值，即不断地从 <math>\omega^\omega+1</math> 的序列到 <math>\omega^\omega\times 2</math> 的序列，到 <math>\omega^\omega\times \omega</math> ，也就是 <math>\omega^{\omega+1}</math> 。因此类似地可以继续构造出 <math>\omega^{\omega\times2}</math> 和 <math>\omega^{\omega^2}</math> ，以至于 <math>\omega^{\omega^\omega}</math> 。

继续重复次流程，则 <math>\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\cdots</math> 构成序列（这里一般不写成[[幂塔]]，如果写成的话仍然对应自然数），最后极限序数是 <math>\omega^{\omega^{\omega^{\dots^{\dots^{\cdots}}}}}</math> ，记作 <math>\epsilon</math> 或 <math>\epsilon_0</math> ，是满足 <math>\epsilon = \omega^\epsilon</math> 的最小序数。

类似地，可以通过 <math>\omega</math> 不断地迭代得到新的序数。序数是通过保证顺序的方式构造，考虑打乱顺序的对应关系，总是可以以某种方式构造出与自然数的双射，也就是不改变集合的[[基数]]，因此这些序数都称为'''可数序数'''。而全体可数序数构成的序数只可能是比全体序数更大的序数，称为第一级不可数序数，记作 <math>\omega_1</math> 或 <math>\Omega</math> 。由于可数个可数集的并集可数， <math>\omega_1</math> 一定无法通过以上递归生成的方式得到，称为'''不可数序数'''。根据不可数集和可数集间无法建立双射的定理，可以说明在这一级上对应的基数发生了变化。以此类推，在超限序数开始，基数发生变化的序数依次记作 <math>\omega_0,\omega_1,\omega_2,\omega_3,\cdots</math> ，称这些序数为'''初始序数'''。