序数

序数
术语名称	序数
英语名称	ordinal number
别名	ordinal

序数(ordinal number)指给定一个标准集合与其他集合进行保持顺序的一一对应。

序数用自然数（有限序数）衡量有限良序集合中元素的顺序，用后续的序数（超限序数）衡量无限良序集合中的“无穷”的顺序。区别于基数。

记号

按照 von Neumann 的自然数构造，即 [math]\displaystyle{ 0=\varnothing, S(a)=a\cup \{a\} }[/math] ，并有序 [math]\displaystyle{ a\lt b \leftrightarrow a\in b }[/math] ，此时总是有两种构造下一个序数的方式：

• 后继序数：当存在当前序数集合最后一个序数时，这个序数的后继必然后序于已经有的序数，即 [math]\displaystyle{ (\forall a)( a\lt a') }[/math] 。
• 极限序数：当当前序数集合是无限的且没有最大元素时，可构造这些序数的上确界为全体元素的广义并。记序数集合 [math]\displaystyle{ A = \{0,1,\cdots\} }[/math] 没有最大元素，则其广义并 [math]\displaystyle{ \bigcup A }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ (\forall a \in A) (a \lt \bigcup A) }[/math] 。

这种序上的上确界是后继对于无限个元素的扩展。

现在定义一种有良序的数，反过来类似倒计时地进行某种可跳步的状态，任何一个自然数可以到达小于它的自然数的状态。任何一个自然数都后序于任意小于它的自然数，但是若存在一个状态接下来允许数任意自然数，这就是全体自然数后的序数，这里就遇到了第一个不属于自然数的集合。这个集合是一个极限序数，自然数集上的广义并 [math]\displaystyle{ \bigcup\mathbb{N} }[/math] ，其必然后序于全体自然数。尽管这一广义并是自然数集 [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] 本身，作为序数时，记这一序数为 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ，也记作 [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math]。 与自然数序数相区别，，从这一序数起，称为超限序数。

类似于自然数中所有数都有后继，序数 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 也存在后继 [math]\displaystyle{ \omega+1 \gt \omega }[/math] 。对应状态就是下一步允许走到 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 状态。以此类推，有 [math]\displaystyle{ \omega+2,\omega+3,\cdots }[/math] 。

考虑到是 1 后下降到 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ，这里的 [math]\displaystyle{ \omega+1 }[/math] 表示正过来数时先“数完”了自然数后再数 1 （注意下，前面状态的例子里是倒数的，所以 1 后到 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ，正数的顺序就是反过来的先自然数再 1 ），所以不能写作 [math]\displaystyle{ 1+\omega }[/math] ，后者的顺序可以理解成先数一个 1 再从 0 开始数全部自然数，仅仅相当于把所有的编号都进行了一次错位地“数遍”了自然数，也就是说 [math]\displaystyle{ 1+\omega=\omega }[/math] 。这里加法无法交换，加法 [math]\displaystyle{ a+b }[/math] 表示“在数完 [math]\displaystyle{ a }[/math] 后再数 [math]\displaystyle{ b }[/math] ”，也就是“将 [math]\displaystyle{ b }[/math] 加到 [math]\displaystyle{ a }[/math] 上”的定义，可以称这里的 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为被加数， [math]\displaystyle{ b }[/math] 为加数。

类似地，序列 [math]\displaystyle{ \omega,\omega+1,\omega+2,\cdots }[/math] 存在上确界，对应被加数不变，加数把自然数“数遍”之后的序数，也就是 [math]\displaystyle{ \omega+\omega }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ \omega\times 2 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \omega\cdot 2 }[/math] 。这里乘法无法交换，乘法 [math]\displaystyle{ a\times b }[/math] 表示“将数完 [math]\displaystyle{ a }[/math] 的动作重复 [math]\displaystyle{ b }[/math] 次”，也就是“重复 [math]\displaystyle{ b }[/math] 次的 [math]\displaystyle{ a }[/math] 相加”的定义，可以称这里的 [math]\displaystyle{ a }[/math] 为被乘数， [math]\displaystyle{ b }[/math] 为乘数。在这一定义下，用 [math]\displaystyle{ \omega\times 2 }[/math] 表示 [math]\displaystyle{ \omega,\omega+1,\omega+2,\cdots }[/math] 后的极限序数，也就是“数遍”自然数两次，而记号 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 是两个两个地数，并“数遍”自然数次，也就是 [math]\displaystyle{ 2\times 0,2\times 1,2\times 2,\cdots }[/math] 这个非负偶数列之后的极限序数，非负偶数和自然数之间存在双射，因此后面的极限序数也就是 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 本身了。

继续进行后继，则有 [math]\displaystyle{ \omega\times2,\omega\times2+1,\omega\times2+2,\cdots }[/math] ，最终“数遍”全体自然数到达极限序数 [math]\displaystyle{ \omega\times 2+\omega }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ \omega\times 3 }[/math] 。以此类推。

类似地，序列 [math]\displaystyle{ \omega,\omega\times 2,\omega\times 3,\cdots }[/math] 存在上确界，对应被乘数不变，乘数把自然数“数遍”之后的序数，也就是 [math]\displaystyle{ \omega\times\omega }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] 。这里乘方类似正常定义， [math]\displaystyle{ a^b }[/math] 表示“重复 [math]\displaystyle{ b }[/math] 次 [math]\displaystyle{ a }[/math] 相乘”。

继续进行后继，则有 [math]\displaystyle{ \omega^2,\omega^2+1,\omega^2+2,\cdots }[/math] ，最终“数遍”全体自然数到达极限序数 [math]\displaystyle{ \omega^2+\omega }[/math] 。然后是 [math]\displaystyle{ \omega^2+\omega+1,\omega^2+\omega+2,\omega^2+\omega+3,\cdots }[/math] ，然后到达极限序数 [math]\displaystyle{ \omega^2+\omega+\omega=\omega^2+\omega\times2 }[/math] 。以此类推有序列 [math]\displaystyle{ \omega^2 +\omega\times3,\omega^2 +\omega\times4,\omega^2 +\omega\times5\cdots }[/math] ，最后的极限序数是 [math]\displaystyle{ \omega^2 +\omega\times\omega=\omega^2+\omega^2 }[/math] ，按上述乘法定义记作 [math]\displaystyle{ \omega^2\times 2 }[/math] 。继续取后继 [math]\displaystyle{ \omega^2\times2 +1 }[/math] 开始，得到极限序数 [math]\displaystyle{ \omega^2\times2+\omega,\omega^2\times2+\omega\times 2,\omega^2\times2+\omega\times 3\cdots }[/math] ，并进一步得到极限序数 [math]\displaystyle{ \omega^2\times2+\omega\times\omega=\omega^2\times 3 }[/math] ，重复此流程得到 [math]\displaystyle{ \omega^2\times4,\omega\times 5,\omega^2\times 6 }[/math] 等，得到极限序数 [math]\displaystyle{ \omega^2\times\omega }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ \omega^3 }[/math] ，以此类推。

重复以上流程取后继和极限，会得到序列 [math]\displaystyle{ \omega,\omega^2,\omega^3,\cdots }[/math] ，再后面极限序数就称为 [math]\displaystyle{ \omega^\omega }[/math] 。

重复此流程增加指数上的数值，即不断地从 [math]\displaystyle{ \omega^\omega+1 }[/math] 的序列到 [math]\displaystyle{ \omega^\omega\times 2 }[/math] 的序列，到 [math]\displaystyle{ \omega^\omega\times \omega }[/math] ，也就是 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega+1} }[/math] 。因此类似地可以继续构造出 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega\times2} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega^2} }[/math] ，以至于 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega^\omega} }[/math] 。

继续重复次流程，则 [math]\displaystyle{ \omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\cdots }[/math] 构成序列（这里一般不写成幂塔，如果写成的话仍然对应自然数），最后极限序数是 [math]\displaystyle{ \omega^{\omega^{\omega^{\dots^{\dots^{\cdots}}}}} }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \epsilon_0 }[/math] ，是满足 [math]\displaystyle{ \epsilon = \omega^\epsilon }[/math] 的最小序数。

类似地，可以通过 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 不断地迭代得到新的序数。序数是通过保证顺序的方式构造，考虑打乱顺序的对应关系，总是可以以某种方式构造出与自然数的双射，也就是不改变集合的基数，因此这些序数都称为可数序数。而全体可数序数构成的序数只可能是比全体序数更大的序数，称为第一级不可数序数，记作 [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] 。由于可数个可数集的并集可数， [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] 一定无法通过以上递归生成的方式得到，称为不可数序数。根据不可数集和可数集间无法建立双射的定理，可以说明在这一级上对应的基数发生了变化。以此类推，在超限序数开始，基数发生变化的序数依次记作 [math]\displaystyle{ \omega_0,\omega_1,\omega_2,\omega_3,\cdots }[/math] ，称这些序数为初始序数。