查看“︁交集”︁的源代码

[[分类:集合]]{{DEFAULTSORT:jiao1ji2}}
{{#seo:
|keywords=交集
|description=本文介绍交集的数学定义、基本性质、多元交集和广义交集，涵盖集合论中的核心概念与运算规则，适用于数学和计算机科学基础学习。
|modified_time={{REVISIONYEAR}}-{{REVISIONMONTH}}-{{REVISIONDAY2}}
|published_time=2023-4-9
}}
{{InfoBox
|name=交集
|eng_name=intersection
|aliases=交
}}
'''交集'''('''intersection''')是对两个或多个[[集合]]，由所有同时[[成员关系|属于]]这些集合的元素构成的新的集合。

== 定义 ==

{{Operation
|name=交集
|symbol=<math>\cap</math>
|latex=\cap
|operand=集合
|result=集合
|prototype=布尔代数
}}
对集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> ，由所有属于集合 <math>A</math> 且属于集合 <math>B</math> 的元素所构成的集合，叫做集合 <math>A</math> 与集合 <math>B</math> 的'''交集'''('''intersection''')，简称'''交'''，记作 <math>A \cap B</math>。即： <math>A \cap B = \left\{ x \mid x \in A \land x \in B \right\}</math>。

{{GiteaSvg|venn_graph/intersection}}

{{CharMetaInfo
|char=&#x2229;
|unicodeCodePoint={{UnicodeCodePoint|U+2229|Intersection}}<ref>有别名 {{UnicodeName|Cap}}、{{UnicodeName|Hat}}。</ref>
|latex=\cap
}}

== 性质 ==

[[布尔代数]]的运算。

* 运算性质：
** [[结合律]]：对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)</math>。
** [[交换律]]：对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \cap B = B \cap A</math>。
** [[分配律]]：对于任意集合 <math>A</math> 、 <math>B</math> 和 <math>C</math>，有 <math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)</math>。
** [[吸收律]]：对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math>A \cap (A \cup B) = A</math>、<math>A \cup (A \cap B) = A</math>。
** [[德·摩根律]]：对于任意集合 <math>A</math> 和 <math>B</math>，有 <math> (A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math>、<math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math>。
* 特殊值：
** <math>A \cap A = A</math>
** <math>A \cap \varnothing = \varnothing</math>
*** [[空集]]是交集运算的[[零元]]。
** <math>A \cap U = A</math>
*** [[全集]]是交集运算的[[单位元]]。（若讨论范围存在全集）
* 包含关系：
** <math>A \cap B \subseteq A</math> 
*** <math>A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B</math>

== 多元交集 ==

对集合 <math>A_1, A_2, \dots , A_n</math> ，由所有同时属于这些集合的元素所构成的集合，叫做这些集合的'''交集'''('''intersection''')，记作 <math>A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n</math>。即 <math>A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = \left\{ x \mid x \in A_1 \land x \in A_2 \land \dots \land x \in A_n \right\}</math>。也记作 <math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math> 。

在此基础上， 1 个集合的交集定义为集合自身， 0 个集合的交集定义为全集（若讨论范围存在全集）。

多个集合的交集也可以等价地定义为这些集合两两进行交集，由于满足结合律、交换律而顺序无关，也不需要区分二元运算和多元运算。
	
== 广义交集 ==
见[[广义交]]。


{{集合}}