交集

交集
术语名称	交集
英语名称	intersection
别名	交

交集(intersection)是对两个或多个集合，由所有同时属于这些集合的元素构成的新的集合。

定义

交集
运算名称	交集
运算符号	[math]\displaystyle{ \cap }[/math]
Latex	\cap
运算对象	集合
运算元数	2
运算结果	集合
结构	布尔代数

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，由所有属于集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 且属于集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素所构成的集合，叫做集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 与集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的交集(intersection)，简称交，记作 [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math]。即： [math]\displaystyle{ A \cap B = \left\{ x \mid x \in A \land x \in B \right\} }[/math]。

∩
字符	∩
Unicode码位	U+2229 Intersection
Latex命令序列	\cap

性质

布尔代数的运算。

• 运算性质：
  • 结合律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) }[/math]。
  • 交换律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cap B = B \cap A }[/math]。
  • 分配律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 和 [math]\displaystyle{ C }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) }[/math]。
  • 吸收律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ A \cap (A \cup B) = A }[/math]、[math]\displaystyle{ A \cup (A \cap B) = A }[/math]。
  • 德·摩根律：对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math]，有 [math]\displaystyle{ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c }[/math]、[math]\displaystyle{ (A \cup B)^c = A^c \cap B^c }[/math]。
• 特殊值：
  • [math]\displaystyle{ A \cap A = A }[/math]
  • [math]\displaystyle{ A \cap \varnothing = \varnothing }[/math]
    • 空集是交集运算的零元。
  • [math]\displaystyle{ A \cap U = A }[/math]
    • 全集是交集运算的单位元。（若讨论范围存在全集）
• 包含关系：
  • [math]\displaystyle{ A \cap B \subseteq A }[/math]
    • [math]\displaystyle{ A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B }[/math]

多元交集

对集合 [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots , A_n }[/math] ，由所有同时属于这些集合的元素所构成的集合，叫做这些集合的交集(intersection)，记作 [math]\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n }[/math]。即 [math]\displaystyle{ A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n = \left\{ x \mid x \in A_1 \land x \in A_2 \land \dots \land x \in A_n \right\} }[/math]。也记作 [math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^n A_i }[/math] 。

在此基础上， 1 个集合的交集定义为集合自身， 0 个集合的交集定义为全集（若讨论范围存在全集）。

多个集合的交集也可以等价地定义为这些集合两两进行交集，由于满足结合律、交换律而顺序无关，也不需要区分二元运算和多元运算。

广义交集

见广义交。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]