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[[分类:序理论]]{{DEFAULTSORT:pian1xu4}}
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|keywords=偏序, 偏序集, 偏序关系, 哈斯图
|description=本文介绍偏序关系的定义、性质及其在序理论中的位置，包括偏序与预序、全序的联系与区别，偏序集的基本概念以及哈斯图表示方法。
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|published_time=2024-03-02
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{{InfoBox
|name=偏序
|eng_name=partial order
|aliases=偏序关系,weak partial order,reflexive partial order,非严格偏序,non-strict partial order
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{{InfoBox
|name=偏序集
|eng_name=partially ordered set
|aliases=poset,non-strict partially ordered set
}}
'''偏序'''('''partial order''')指[[集合]]上的一个二元[[关系]]同时是[[自反关系]]、[[反对称关系]]和[[传递关系]]。
元素间存在偏序关系的[[集合]]称为'''偏序集'''('''partially ordered set''', '''poset''')。

== 定义 ==

对集合 <math>P</math> 上的二元关系 <math>\preceq</math> ，如果满足自反性、反对称性和传递性，即：
* 自反性： <math>\forall a \in P (a \preceq a)</math>
* 反对称性： <math>\forall a \forall b ((a \preceq b \land b \preceq a) \rightarrow a = b)</math>
* 传递性： <math>\forall a \forall b \forall c (a \preceq b \land b \preceq c \rightarrow a \preceq c)</math>
称关系 <math>\preceq</math> 为一个'''偏序'''('''partial order''')。
并称带有偏序关系的集合 <math>(P, \preceq)</math> 为'''偏序集'''('''partially ordered set''', '''poset''') 。

== 关系图特征 ==

偏序在关系图上的特征：
* 偏序中存在不可比较的元素，这些元素使得局部上存在不连通的区域；
* 传递性的存在使得预序中的关系链上的元素形成类似层次的结构，不连通的区域间层数可能有差异。
* 每个层次内可能分为多个连通分量，每个连通分量本身又是一个偏序，递归满足这一条件。

== 性质 ==

* 基本特征
** 偏序是自反、反对称且传递的二元关系。
** 偏序关系的关系图是有向无环图（DAG），且每个顶点有自环。
* 运算性质
** 偏序的[[交（关系）|交]]仍是偏序；
** 偏序的[[并（关系）|并]]'''不一定'''是偏序；
** 偏序的[[复合（关系）|复合]]'''不一定'''是偏序；
** 偏序集的[[直积]]在[[字典序]]下是偏序集。
* 偏序集中的特殊元素
** [[最大元、最小元]]如果存在则唯一
** [[极大元、极小元]]可能不唯一

== 相关概念 ==

偏序是非常常见且重要的概念，相关的研究产生了很多相关概念，见以下各个条目：

* [[Hasse 图]]：偏序集的可视化表示，省略可通过自反性和传递性得出的边，剩余的骨架结构。通常用于有限偏序集。
** 覆盖关系：偏序在 Hasse 图中剩余的骨架关系。
* [[链]]：偏序的全序子关系，即两两可比较的子集。
* [[反链]]：偏序中两两不可比较的子集。
* [[区间（序理论）|区间]]：偏序集中两个元素之间的所有元素。

== 关联 ==

* 偏序是[[预序]]的特例，增加了反对称性要求。
** 若一个偏序是[[完全关系]]，是[[全序]]。
** [[恒等关系]]也是偏序关系，且是唯一一个同时是偏序关系和[[等价关系]]的关系。
* 偏序也被称为'''非严格偏序'''，而去除自反部分后剩下的[[反自反核]]称为[[严格偏序]]，即拟序。
** 拟序可以诱导出一个偏序：定义 <math>a\preceq b</math> 当且仅当 <math>a\prec b \lor a=b</math> 。
** 偏序可以诱导出一个拟序：定义 <math>a\prec b</math> 当且仅当 <math>a\preceq b \land a\neq b</math> 。


{{关系}}
{{二元关系复合类型}}